Google
Câu hỏi: Giả sử $a$, $b$ là các số thực sao cho ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}=a{{.10}^{3z}}+b{{.10}^{2z}}$ đúng với mọi các số thực dương $x$, $y$, $z$ thoả mãn $\log \left( x+y \right)=z$ và $\log \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=z+1$. Giá trị của $a+b$ bằng
A. $\dfrac{31}{2}$.
B. $\dfrac{29}{2}$.
C. $-\dfrac{31}{2}$.
D. $-\dfrac{25}{2}$.
A. $\dfrac{31}{2}$.
B. $\dfrac{29}{2}$.
C. $-\dfrac{31}{2}$.
D. $-\dfrac{25}{2}$.
Đặt $t={{10}^{z}}$. Khi đó ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}=a.{{t}^{3}}+b.{{t}^{2}}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \log \left( x+y \right)=z \\
& \log \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=z+1 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+y={{10}^{z}}=t \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{10.10}^{z}}=10t \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow xy=\dfrac{{{t}^{2}}-10.t}{2}$.
Khi đó ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{\left( x+y \right)}^{3}}-3xy\left( x+y \right)={{t}^{3}}-\dfrac{3t\left( {{t}^{2}}-10t \right)}{2}=-\dfrac{1}{2}{{t}^{3}}+15{{t}^{2}}$.
Suy ra $a=-\dfrac{1}{2}$, $b=15$.
Vậy $a+b=\dfrac{29}{2}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \log \left( x+y \right)=z \\
& \log \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=z+1 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+y={{10}^{z}}=t \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{10.10}^{z}}=10t \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow xy=\dfrac{{{t}^{2}}-10.t}{2}$.
Khi đó ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{\left( x+y \right)}^{3}}-3xy\left( x+y \right)={{t}^{3}}-\dfrac{3t\left( {{t}^{2}}-10t \right)}{2}=-\dfrac{1}{2}{{t}^{3}}+15{{t}^{2}}$.
Suy ra $a=-\dfrac{1}{2}$, $b=15$.
Vậy $a+b=\dfrac{29}{2}$.
Đáp án B.