Giả sử $a, b$ là các số thực sao cho ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}=a{{. 10}^{3z}}+b{{. 10}^{2z}}$ đúng với mọi các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $\log...

$\left\{ \begin{matrix}
\log (x+y)=z \\
\log ({{x}^{2}}+{{y}^{2}})=z+1 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x+y={{10}^{z}} \\
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{10}^{z+1}} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x+y={{10}^{z}} \\
{{(x+y)}^{2}}-2xy={{10.10}^{z}} \\
\end{matrix} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x+y={{10}^{z}} \\
{{10}^{2z}}-2xy={{10.10}^{z}} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x+y={{10}^{z}} \\
xy=\frac{{{10}^{2z}}-{{10.10}^{z}}}{2} \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{(x+y)}^{3}}-3xy(x+y)={{10}^{3z}}-3.\left( \frac{{{10}^{2z}}-{{10.10}^{z}}}{2} \right){{.10}^{z}}$
$=\frac{1}{2}\left( {{2.10}^{3z}}-{{3.10}^{3z}}+{{30.10}^{2z}} \right)=\frac{1}{2}\left( -{{10}^{3z}}+{{30.10}^{2z}} \right)=-\frac{1}{2}{{.10}^{3z}}+{{15.10}^{2z}}$.
Lại có ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}=a{{.10}^{3z}}+b{{.10}^{2z}}$.
Suy ra $\left\{ \begin{matrix}
a=-\frac{1}{2} \\
b=15 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow a+b=\frac{29}{2}$.