$F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm $\left( x-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-2x-3}.$ Biết $F\left(-2 \right)=F\left( 4...

Phương pháp:
Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số, đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}-2x-3}.$
Cách giải:
Ta có $F\left( x \right)=\int\limits_{{}}^{{}}{\left( x-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-2x-3}dx}$
Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}-2x-3}\Rightarrow {{t}^{2}}={{x}^{2}}-2x-3\Rightarrow tdt=\left( x-1 \right)dx.$
$\Rightarrow F\left( x \right)=\int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{{{t}^{2}}dt}=\dfrac{{{t}^{3}}}{3}+C$
$\Rightarrow F\left( x \right)=\dfrac{\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-2x-3}}{3}+C$
ĐKXĐ: ${{x}^{2}}-2x-3\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\ge 3 \\
& x\le -1 \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó ta có: $F\left( x \right)=\left[ \begin{aligned}
& \dfrac{\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-2x-3}}{3}+{{C}_{1}}khix\le -1 \\
& \dfrac{\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-2x-3}}{3}+{{C}_{2}}khix\ge 3 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& F\left( -2 \right)=\dfrac{5\sqrt{5}}{3}+{{C}_{1}}=\dfrac{5\sqrt{5}}{3}\Rightarrow {{C}_{1}}=0 \\
& F\left( 4 \right)-1=\dfrac{5\sqrt{5}}{3}+{{C}_{2}}-1=\dfrac{5\sqrt{5}}{3}\Rightarrow {{C}_{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow F\left( x \right)=\left[ \begin{aligned}
& \dfrac{\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-2x-3}}{3}khix\le -1 \\
& \dfrac{\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-2x-3}}{3}\text{+1 }khix\ge 3 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& F\left( -3 \right)=\dfrac{12\sqrt{12}}{3}=8\sqrt{3} \\
& F\left( 5 \right)=\dfrac{12\sqrt{12}}{3}+1=8\sqrt{3}+1 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $F\left( -3 \right)+F\left( 5 \right)=16\sqrt{3}+1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=16 \\
& b=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b=17.$