Đường thẳng $y = m (0 < m < 1)$ cắt đường cong...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Đường thẳng

y = m (0 < m < 1)

cắt đường cong

y = x^{4} - 2 x^{2} + 1

tại hai điểm phân biệt thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ

O x y

và chia thành hai hình phẳng có diện tích

S_{1}

,

S_{2}

như hình vẽ. Biết

S_{1} = S_{2}

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

m \in (0; \frac{2}{5})

.
B.

m \in (\frac{2}{5}; \frac{1}{2})

.
C.

m \in (\frac{1}{2}; \frac{3}{5})

.
D.

m \in (\frac{3}{5}; 1)

Phương trình hoành độ giao điểm đường cong và đường thẳng

y = m (0 < m < 1)

:

x^{4} - 2 x^{2} + 1 = m \Leftrightarrow {(x^{2} - 1)}^{2} = m \Leftrightarrow [\begin{aligned} x^{2} - 1 = \sqrt{m} \\ x^{2} - 1 = - \sqrt{m} \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} x^{2} = 1 + \sqrt{m} \\ x^{2} = 1 - \sqrt{m} \end{aligned}

.
Hoành độ giao điểm thuộc cung phần tư thứ nhất là:

x_{1} = \sqrt{1 + \sqrt{m}}

và

x_{2} = \sqrt{1 - \sqrt{m}}

.
Ta có

S_{1} = S_{2} \Leftrightarrow \int_{0}^{\sqrt{1 - \sqrt{m}}} (x^{4} - 2 x^{2} + 1 - m) d x = \int_{\sqrt{1 - \sqrt{m}}}^{\sqrt{1 + \sqrt{m}}} (m - x^{4} + 2 x^{2} - 1) d x

\begin{aligned} \Leftrightarrow \int_{0}^{\sqrt{1 - \sqrt{m}}} (x^{4} - 2 x^{2} + 1 - m) d x = - \int_{\sqrt{1 - \sqrt{m}}}^{\sqrt{1 + \sqrt{m}}} (x^{4} - 2 x^{2} + 1 - m) d x \\ \Leftrightarrow \int_{0}^{\sqrt{1 - \sqrt{m}}} (x^{4} - 2 x^{2} + 1 - m) d x + \int_{\sqrt{1 - \sqrt{m}}}^{\sqrt{1 + \sqrt{m}}} (x^{4} - 2 x^{2} + 1 - m) d x = 0 \Leftrightarrow \int_{0}^{\sqrt{1 + \sqrt{m}}} (x^{4} - 2 x^{2} + 1 - m) d x = 0 \end{aligned}

\Leftrightarrow (\frac{x^{5}}{5} - \frac{2 x^{3}}{3} + x - m x) | \begin{matrix} ^{\sqrt{1 + \sqrt{m}}} \\ _{0} \end{matrix} = 0 \Leftrightarrow \frac{{(\sqrt{1 + \sqrt{m}})}^{5}}{5} - \frac{2 {(\sqrt{1 + \sqrt{m}})}^{3}}{3} + \sqrt{1 + \sqrt{m}} - m \sqrt{1 + \sqrt{m}} = 0

\begin{aligned} \Leftrightarrow \frac{{(\sqrt{1 + \sqrt{m}})}^{4}}{5} - \frac{2 {(\sqrt{1 + \sqrt{m}})}^{2}}{3} + 1 - m = 0 \Leftrightarrow \frac{{(1 + \sqrt{m})}^{2}}{5} - \frac{2 (1 + \sqrt{m})}{3} + (1 - \sqrt{m}) (1 + \sqrt{m}) = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{(1 + \sqrt{m})}{5} - \frac{2}{3} + (1 - \sqrt{m}) = 0 (1 + \sqrt{m} \neq 0) \Leftrightarrow 1 + \sqrt{m} = \frac{5}{9} \Leftrightarrow m = \frac{16}{81} \in (0; \frac{2}{5}) \end{aligned}

Đáp án A.

Đường thẳng y=m(0<m<1) cắt đường cong...