Google
Câu hỏi: Đường thẳng $y=m \left( 0<m<1 \right)$ cắt đường cong $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1$ tại hai điểm phân biệt thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ $Oxy$ và chia thành hai hình phẳng có diện tích ${{S}_{1}}$, ${{S}_{2}}$ như hình vẽ. Biết ${{S}_{1}}={{S}_{2}}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $m\in \left( 0 ; \dfrac{2}{5} \right)$.
B. $m\in \left( \dfrac{2}{5} ; \dfrac{1}{2} \right)$.
C. $m\in \left( \dfrac{1}{2} ; \dfrac{3}{5} \right)$.
D. $m\in \left( \dfrac{3}{5} ; 1 \right)$
B. $m\in \left( \dfrac{2}{5} ; \dfrac{1}{2} \right)$.
C. $m\in \left( \dfrac{1}{2} ; \dfrac{3}{5} \right)$.
D. $m\in \left( \dfrac{3}{5} ; 1 \right)$
Phương trình hoành độ giao điểm đường cong và đường thẳng $y=m \left( 0<m<1 \right)$ :
${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1=m\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}=m\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-1=\sqrt{m} \\
& {{x}^{2}}-1=-\sqrt{m} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=1+\sqrt{m} \\
& {{x}^{2}}=1-\sqrt{m} \\
\end{aligned} \right.$.
Hoành độ giao điểm thuộc cung phần tư thứ nhất là: ${{x}_{1}}=\sqrt{1+\sqrt{m}}$ và ${{x}_{2}}=\sqrt{1-\sqrt{m}}$.
Ta có ${{S}_{1}}={{S}_{2}}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\sqrt{1-\sqrt{m}}}{\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1-m \right)\text{d}x}=\int\limits_{\sqrt{1-\sqrt{m}}}^{\sqrt{1+\sqrt{m}}}{\left( m-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-1 \right)\text{d}x}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\sqrt{1-\sqrt{m}}}{\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1-m \right)\text{d}x}=-\int\limits_{\sqrt{1-\sqrt{m}}}^{\sqrt{1+\sqrt{m}}}{\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1-m \right)\text{d}x} \\
& \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\sqrt{1-\sqrt{m}}}{\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1-m \right)\text{d}x}+\int\limits_{\sqrt{1-\sqrt{m}}}^{\sqrt{1+\sqrt{m}}}{\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1-m \right)\text{d}x}=0\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\sqrt{1+\sqrt{m}}}{\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1-m \right)\text{d}x}=0 \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow \left( \dfrac{{{x}^{5}}}{5}-\dfrac{2{{x}^{3}}}{3}+x-mx \right)\left| \begin{matrix}
^{\sqrt{1+\sqrt{m}}} \\
_{0} \\
\end{matrix} \right.=0\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( \sqrt{1+\sqrt{m}} \right)}^{5}}}{5}-\dfrac{2{{\left( \sqrt{1+\sqrt{m}} \right)}^{3}}}{3}+\sqrt{1+\sqrt{m}}-m\sqrt{1+\sqrt{m}}=0$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \dfrac{{{\left( \sqrt{1+\sqrt{m}} \right)}^{4}}}{5}-\dfrac{2{{\left( \sqrt{1+\sqrt{m}} \right)}^{2}}}{3}+1-m=0\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( 1+\sqrt{m} \right)}^{2}}}{5}-\dfrac{2\left( 1+\sqrt{m} \right)}{3}+\left( 1-\sqrt{m} \right)\left( 1+\sqrt{m} \right)=0 \\
& \Leftrightarrow \dfrac{\left( 1+\sqrt{m} \right)}{5}-\dfrac{2}{3}+\left( 1-\sqrt{m} \right)=0 \left( 1+\sqrt{m}\ne 0 \right)\Leftrightarrow 1+\sqrt{m}=\dfrac{5}{9}\Leftrightarrow m=\dfrac{16}{81}\in \left( 0 ; \dfrac{2}{5} \right) \\
\end{aligned}$
${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1=m\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}=m\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-1=\sqrt{m} \\
& {{x}^{2}}-1=-\sqrt{m} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=1+\sqrt{m} \\
& {{x}^{2}}=1-\sqrt{m} \\
\end{aligned} \right.$.
Hoành độ giao điểm thuộc cung phần tư thứ nhất là: ${{x}_{1}}=\sqrt{1+\sqrt{m}}$ và ${{x}_{2}}=\sqrt{1-\sqrt{m}}$.
Ta có ${{S}_{1}}={{S}_{2}}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\sqrt{1-\sqrt{m}}}{\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1-m \right)\text{d}x}=\int\limits_{\sqrt{1-\sqrt{m}}}^{\sqrt{1+\sqrt{m}}}{\left( m-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-1 \right)\text{d}x}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\sqrt{1-\sqrt{m}}}{\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1-m \right)\text{d}x}=-\int\limits_{\sqrt{1-\sqrt{m}}}^{\sqrt{1+\sqrt{m}}}{\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1-m \right)\text{d}x} \\
& \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\sqrt{1-\sqrt{m}}}{\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1-m \right)\text{d}x}+\int\limits_{\sqrt{1-\sqrt{m}}}^{\sqrt{1+\sqrt{m}}}{\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1-m \right)\text{d}x}=0\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\sqrt{1+\sqrt{m}}}{\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1-m \right)\text{d}x}=0 \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow \left( \dfrac{{{x}^{5}}}{5}-\dfrac{2{{x}^{3}}}{3}+x-mx \right)\left| \begin{matrix}
^{\sqrt{1+\sqrt{m}}} \\
_{0} \\
\end{matrix} \right.=0\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( \sqrt{1+\sqrt{m}} \right)}^{5}}}{5}-\dfrac{2{{\left( \sqrt{1+\sqrt{m}} \right)}^{3}}}{3}+\sqrt{1+\sqrt{m}}-m\sqrt{1+\sqrt{m}}=0$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \dfrac{{{\left( \sqrt{1+\sqrt{m}} \right)}^{4}}}{5}-\dfrac{2{{\left( \sqrt{1+\sqrt{m}} \right)}^{2}}}{3}+1-m=0\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( 1+\sqrt{m} \right)}^{2}}}{5}-\dfrac{2\left( 1+\sqrt{m} \right)}{3}+\left( 1-\sqrt{m} \right)\left( 1+\sqrt{m} \right)=0 \\
& \Leftrightarrow \dfrac{\left( 1+\sqrt{m} \right)}{5}-\dfrac{2}{3}+\left( 1-\sqrt{m} \right)=0 \left( 1+\sqrt{m}\ne 0 \right)\Leftrightarrow 1+\sqrt{m}=\dfrac{5}{9}\Leftrightarrow m=\dfrac{16}{81}\in \left( 0 ; \dfrac{2}{5} \right) \\
\end{aligned}$
Đáp án A.