Google
Câu hỏi: Đường thẳng $x=k$ cắt đồ thị hàm số $y={{\log }_{5}}x$ và đồ thị hàm số $y={{\log }_{5}}\left( x+4 \right)$.Khoảng cách giữa các giao điểm là $\dfrac{1}{2}$. Biết $k=a+\sqrt{b}$, trong đó $a,b$ là các số nguyên. Khi đó tổng $a+b$ bằng
A. $7$.
B. $6$.
C. $8$.
D. $5$.
Đường thẳng $x=k$ cắt đồ thị hàm số $y={{\log }_{5}}x$ và đồ thị hàm số $y={{\log }_{5}}\left( x+4 \right)$ lần lượt tại hai điểm $M\left( k;{{\log }_{5}}k \right)$ và $N\left( k;{{\log }_{5}}\left( k+4 \right) \right)$ với $k>0$.
Theo giả thiết ta có,
$MN=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \left| {{\log }_{5}}\left( k+4 \right)-{{\log }_{5}}k \right|=\dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( k+4 \right)-{{\log }_{5}}k=\dfrac{1}{2}\ $ (do ${{\log }_{5}}\left( k+4 \right)>{{\log }_{5}}k$ )
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\dfrac{k+4}{k}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{k+4}{k}=\sqrt{5}\Leftrightarrow 4{{k}^{2}}-8k-16=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& k=1+\sqrt{5} \\
& k=1-\sqrt{5}\left( l \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó, $a=1;b=5$. Vậy $a+b=6$.
A. $7$.
B. $6$.
C. $8$.
D. $5$.
Đường thẳng $x=k$ cắt đồ thị hàm số $y={{\log }_{5}}x$ và đồ thị hàm số $y={{\log }_{5}}\left( x+4 \right)$ lần lượt tại hai điểm $M\left( k;{{\log }_{5}}k \right)$ và $N\left( k;{{\log }_{5}}\left( k+4 \right) \right)$ với $k>0$.
Theo giả thiết ta có,
$MN=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \left| {{\log }_{5}}\left( k+4 \right)-{{\log }_{5}}k \right|=\dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( k+4 \right)-{{\log }_{5}}k=\dfrac{1}{2}\ $ (do ${{\log }_{5}}\left( k+4 \right)>{{\log }_{5}}k$ )
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\dfrac{k+4}{k}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{k+4}{k}=\sqrt{5}\Leftrightarrow 4{{k}^{2}}-8k-16=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& k=1+\sqrt{5} \\
& k=1-\sqrt{5}\left( l \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó, $a=1;b=5$. Vậy $a+b=6$.
Đáp án B.