Google
Câu hỏi: Đường thẳng $x=k$ cắt đồ thị hàm số $y={{\log }_{5}}x$ và đồ thị hàm số $y={{\log }_{3}}\left( x+4 \right)$. Khoảng cách giữa các giao điểm là $\dfrac{1}{2}$. Biết $k=a+\sqrt{b}$, trong đó a, b là các số nguyên. Khi đó tổng $a+b$ bằng
A. 7
B. 6
C. 8
D. 5
A. 7
B. 6
C. 8
D. 5
Điều kiện: $\text{x}>0$.
Đường thẳng $\text{x}=k$ cắt đồ thị hàm số $y={{\log }_{5}}x$ tại điểm $A\left( k;{{\log }_{5}}k \right)$ với $k>0$.
Đường thẳng $\text{x}=k$ cắt đồ thị hàm số $y={{\log }_{5}}\left( x+4 \right)$ tại điểm $B\left( k;{{\log }_{5}}\left( k+4 \right) \right)$.
$AB=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \left| {{\log }_{5}}\left( k+4 \right)-{{\log }_{5}}k \right|=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\dfrac{k+4}{k}=\dfrac{1}{2}$
(do $k+4>k>0\Rightarrow \dfrac{k+4}{k}>1\Rightarrow {{\log }_{5}}\dfrac{k+4}{k}>{{\log }_{5}}1=0$ )
Khi đó $k+4=k\sqrt{5}\Leftrightarrow k\left( \sqrt{5}-1 \right)=4\Leftrightarrow k=\dfrac{4}{\sqrt{5}-1}=\dfrac{4\left( \sqrt{5}+1 \right)}{5-1}=1+\sqrt{5}$
Vậy $k=1+\sqrt{5}\to a=1,b=5\Rightarrow a+b=6$.
Đường thẳng $\text{x}=k$ cắt đồ thị hàm số $y={{\log }_{5}}x$ tại điểm $A\left( k;{{\log }_{5}}k \right)$ với $k>0$.
Đường thẳng $\text{x}=k$ cắt đồ thị hàm số $y={{\log }_{5}}\left( x+4 \right)$ tại điểm $B\left( k;{{\log }_{5}}\left( k+4 \right) \right)$.
$AB=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \left| {{\log }_{5}}\left( k+4 \right)-{{\log }_{5}}k \right|=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\dfrac{k+4}{k}=\dfrac{1}{2}$
(do $k+4>k>0\Rightarrow \dfrac{k+4}{k}>1\Rightarrow {{\log }_{5}}\dfrac{k+4}{k}>{{\log }_{5}}1=0$ )
Khi đó $k+4=k\sqrt{5}\Leftrightarrow k\left( \sqrt{5}-1 \right)=4\Leftrightarrow k=\dfrac{4}{\sqrt{5}-1}=\dfrac{4\left( \sqrt{5}+1 \right)}{5-1}=1+\sqrt{5}$
Vậy $k=1+\sqrt{5}\to a=1,b=5\Rightarrow a+b=6$.
Đáp án B.