Google
Câu hỏi: Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=\dfrac{m{{x}^{2}}+\left( 4-2m \right)x-6}{2\left( x+9 \right)}$ cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất khi m bằng:
A. $\dfrac{1}{2}.$
B. $-\dfrac{1}{2}.$
C. 2.
D. 1.
A. $\dfrac{1}{2}.$
B. $-\dfrac{1}{2}.$
C. 2.
D. 1.
Để đồ thị có hai điểm cực trị thì phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt. Ta tìm được điều kiện $m<0$ hoặc $m>\dfrac{14}{33}$. Khi đó đường thẳng nối hai điểm cực trị có phương trình là:
$y=\dfrac{\left[ m{{x}^{2}}+\left( 4-2m \right)x-6 \right]'}{\left[ 2\left( x+9 \right) \right]'}=mx+2-m$.
Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng nối hai điểm cực trị là:
$h=\dfrac{\left| 2-m \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+1}}=\sqrt{\dfrac{{{\left( 2-m \right)}^{2}}}{{{m}^{2}}+1}}\Rightarrow \left( {{m}^{2}}+1 \right){{h}^{2}}={{m}^{2}}-4m+4\Leftrightarrow \left( {{h}^{2}}-1 \right){{m}^{2}}+4m+{{h}^{2}}-4=0\ \ \ \left( * \right)$
Khi $h=1$ thì $m=\dfrac{3}{4}$. Khi thì (*) là phương trình bậc hai của m. Điều kiện cần và đủ để phương trình này có nghiệm là $\Delta '=4-\left( {{h}^{2}}-1 \right)\left( {{h}^{2}}-4 \right)\ge 0\Rightarrow {{h}^{2}}\left( {{h}^{2}}-5 \right)\le 0\Rightarrow h\le \sqrt{5}$.
Khi $h=\sqrt{5}$ thì $4{{m}^{2}}+4m+1=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}$ (thỏa mãn).
Chú ý: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số:
Hàm bậc ba $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị (nếu có) là dư trong phép chia đa thức y cho đa thức y'.
Hàm phân thức $y=\dfrac{A\left( x \right)}{B\left( x \right)}$, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị (nếu có) là $y=\dfrac{A'\left( x \right)}{B'\left( x \right)}$.
$y=\dfrac{\left[ m{{x}^{2}}+\left( 4-2m \right)x-6 \right]'}{\left[ 2\left( x+9 \right) \right]'}=mx+2-m$.
Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng nối hai điểm cực trị là:
$h=\dfrac{\left| 2-m \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+1}}=\sqrt{\dfrac{{{\left( 2-m \right)}^{2}}}{{{m}^{2}}+1}}\Rightarrow \left( {{m}^{2}}+1 \right){{h}^{2}}={{m}^{2}}-4m+4\Leftrightarrow \left( {{h}^{2}}-1 \right){{m}^{2}}+4m+{{h}^{2}}-4=0\ \ \ \left( * \right)$
Khi $h=1$ thì $m=\dfrac{3}{4}$. Khi thì (*) là phương trình bậc hai của m. Điều kiện cần và đủ để phương trình này có nghiệm là $\Delta '=4-\left( {{h}^{2}}-1 \right)\left( {{h}^{2}}-4 \right)\ge 0\Rightarrow {{h}^{2}}\left( {{h}^{2}}-5 \right)\le 0\Rightarrow h\le \sqrt{5}$.
Khi $h=\sqrt{5}$ thì $4{{m}^{2}}+4m+1=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}$ (thỏa mãn).
Chú ý: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số:
Hàm bậc ba $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị (nếu có) là dư trong phép chia đa thức y cho đa thức y'.
Hàm phân thức $y=\dfrac{A\left( x \right)}{B\left( x \right)}$, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị (nếu có) là $y=\dfrac{A'\left( x \right)}{B'\left( x \right)}$.
Đáp án B.