Đường thẳng $d : y = x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ tại 2...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Đường thẳng

d : y = x + m

cắt đồ thị hàm số

y = \frac{x - 1}{x + 1}

tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho

O A^{2} + O B^{2} = 2, O

là gốc tọa độ. Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây?
A.

(- \infty; 2 - 2 \sqrt{2})

B.

(0; 2 + 2 \sqrt{2})

C.

(2 - \sqrt{2}; 2 + 2 \sqrt{2})

D.

(2 + 2 \sqrt{2}; + \infty)

Để

d : y = x + m

cắt đồ thị hàm số

y = \frac{x - 1}{x + 1}

tại 2 đỉểm phần biệt A, B thì phương trình

x + m = \frac{x - 1}{x + 1}

phải có 2 nghiệm phân biệt.

\Leftrightarrow x^{2} + m x + m + 1 = 0

có 2 nghiệm phân biệt

x_{1}, x_{2} \neq - 1

\Leftrightarrow {\begin{aligned} Δ = m^{2} - 4 m - 4 > 0 \\ {(- 1)}^{2} + m (- 1) + m + 1 \neq 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} m < 2 - 2 \sqrt{2}, m > 2 + 2 \sqrt{2} \\ 2 \neq 0 \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} m > 2 + 2 \sqrt{2} \\ m < 2 - 2 \sqrt{2} \end{aligned} (*)

Gọi

A (x_{1}; x_{1} + m), B (x_{2}; x_{2} + m),

ta có

O A^{2} + O B^{2} = 2

\Leftrightarrow {(x_{1})}^{2} + {(x_{1} + m)}^{2} + {x_{2}}^{2} + {(x_{2} + m)}^{2} = 2

\begin{aligned} \begin{matrix} \Leftrightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + m (x_{1} + x_{2}) + m^{2} = 1 \\ \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{x} x_{2} + m (x_{x} + x_{2}) + m^{2} = 1 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {(- m)}^{2} - 2 (m + 1) + m (- m) + m^{2} = 1 \\ \Leftrightarrow m^{2} - 2 m - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} m = - 1 \\ m = 3 \end{aligned} \end{aligned}

Kết hợp với điều kiện (*) ta chọn

m = - 1.

Đáp án A.

Đường thẳng d:y=x+m cắt đồ thị hàm số y=x−1x+1 tại 2...