Google
Câu hỏi: Đường thẳng $d:y=x+m$ cắt đồ thị hàm số $y=\dfrac{x-1}{x+1}$ tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho $O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=2,O$ là gốc tọa độ. Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( -\infty ;2-2\sqrt{2} \right)$
B. $\left( 0;2+2\sqrt{2} \right)$
C. $\left( 2-\sqrt{2};2+2\sqrt{2} \right)$
D. $\left( 2+2\sqrt{2};+\infty \right)$
A. $\left( -\infty ;2-2\sqrt{2} \right)$
B. $\left( 0;2+2\sqrt{2} \right)$
C. $\left( 2-\sqrt{2};2+2\sqrt{2} \right)$
D. $\left( 2+2\sqrt{2};+\infty \right)$
Để $d:y=x+m$ cắt đồ thị hàm số $y=\dfrac{x-1}{x+1}$ tại 2 đỉểm phần biệt A, B thì phương trình $x+m=\dfrac{x-1}{x+1}$ phải có 2 nghiệm phân biệt.
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+mx+m+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\ne -1$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta ={{m}^{2}}-4m-4>0 \\
& {{\left( -1 \right)}^{2}}+m\left( -1 \right)+m+1\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<2-2\sqrt{2},m>2+2\sqrt{2} \\
& 2\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>2+2\sqrt{2} \\
& m<2-2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$
Gọi $A\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m \right),B\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m \right),$ ta có
$O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=2$ $\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{1}}+m \right)}^{2}}+{{x}_{2}}^{2}+{{\left( {{x}_{2}}+m \right)}^{2}}=2$
$\begin{aligned}
& \begin{array}{*{35}{l}}
\Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+{{m}^{2}}=1 \\
\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{x}}{{x}_{2}}+m\left( {{x}_{x}}+{{x}_{2}} \right)+{{m}^{2}}=1 \\
\end{array} \\
& \Leftrightarrow {{\left( -m \right)}^{2}}-2\left( m+1 \right)+m\left( -m \right)+{{m}^{2}}=1 \\
& \Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& m=3 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Kết hợp với điều kiện (*) ta chọn $m=-1.$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+mx+m+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\ne -1$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta ={{m}^{2}}-4m-4>0 \\
& {{\left( -1 \right)}^{2}}+m\left( -1 \right)+m+1\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<2-2\sqrt{2},m>2+2\sqrt{2} \\
& 2\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>2+2\sqrt{2} \\
& m<2-2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$
Gọi $A\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m \right),B\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m \right),$ ta có
$O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=2$ $\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{1}}+m \right)}^{2}}+{{x}_{2}}^{2}+{{\left( {{x}_{2}}+m \right)}^{2}}=2$
$\begin{aligned}
& \begin{array}{*{35}{l}}
\Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+{{m}^{2}}=1 \\
\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{x}}{{x}_{2}}+m\left( {{x}_{x}}+{{x}_{2}} \right)+{{m}^{2}}=1 \\
\end{array} \\
& \Leftrightarrow {{\left( -m \right)}^{2}}-2\left( m+1 \right)+m\left( -m \right)+{{m}^{2}}=1 \\
& \Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& m=3 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Kết hợp với điều kiện (*) ta chọn $m=-1.$
Đáp án A.