Google
Câu hỏi: Đường thẳng $d:y=ax+b$ tiếp xúc với đồ thị $\left( C \right):y={{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}$ tại hai điểm phân biệt A, B. Diện tích của tam giác OAB bằng
A. 18.
B. 9.
C. $4\sqrt{145}$.
D. $\sqrt{145}$.
A. 18.
B. 9.
C. $4\sqrt{145}$.
D. $\sqrt{145}$.
Để $d$ tiếp xúc $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt thì ta phải có ${{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-ax-b={{\left( x-c \right)}^{2}}{{\left( x-e \right)}^{2}}$.
Đạo hàm hai vế ta được $4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-4x-a=2\left( 2x-c-e \right)\left( x-e \right)\left( x-c \right)$
$\Rightarrow 4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-4x-a=0$ có 3 nghiệm phân biệt $x=c,x=e,x=\dfrac{c+e}{2}\Rightarrow \dfrac{c+e}{2}=-1$.
Khi đó $4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-4x-a=0$ có nghiệm $x=-1\Rightarrow a=12\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=-3 \\
& e=1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow b=\left. -{{\left( x+3 \right)}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}} \right|_{x=0}^{{}}=-9$.
Do đó $A\left( -3;-45 \right);B\left( 1;3 \right)$. Vì vậy ${{S}_{\Delta OAB}}=18$.
Đạo hàm hai vế ta được $4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-4x-a=2\left( 2x-c-e \right)\left( x-e \right)\left( x-c \right)$
$\Rightarrow 4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-4x-a=0$ có 3 nghiệm phân biệt $x=c,x=e,x=\dfrac{c+e}{2}\Rightarrow \dfrac{c+e}{2}=-1$.
Khi đó $4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-4x-a=0$ có nghiệm $x=-1\Rightarrow a=12\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=-3 \\
& e=1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow b=\left. -{{\left( x+3 \right)}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}} \right|_{x=0}^{{}}=-9$.
Do đó $A\left( -3;-45 \right);B\left( 1;3 \right)$. Vì vậy ${{S}_{\Delta OAB}}=18$.
Đáp án A.