Google
Câu hỏi: Đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB mắc nối tiếp. Đoạn mạch AM gồm điện trở thuần ${{R}_{1}}=40\Omega $ mắc nối tiếp với tụ điện có điện dung $C=\dfrac{{{10}^{-~3}}}{4\pi }F$, đoạn mạch MB gồm điện trở thuần ${{R}_{2}}$ mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần. Đặt vào A, B điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số không đổi thì điện áp tức thời ở hai đầu đoạn mạch AM và MB lần lượt là ${{u}_{AM}}=50\sqrt{2}.\cos \left( 100\pi t-\dfrac{7\pi }{12} \right)\left( V \right)$ và ${{u}_{MB}}=150.\cos 100\pi t\left( V \right)$. Hệ số công suất của đoạn mạch AB là:
A. 0,86
B. 0,84
C. 0,95
D. 0,71
A. 0,86
B. 0,84
C. 0,95
D. 0,71
Phương pháp:
Độ lệch pha của uAM và uMB so với i được xác định bởi: $\left\{ \begin{aligned}
& \tan ~{{\varphi }_{AM}}=-\dfrac{{{Z}_{C}}}{{{R}_{1}}} \\
& ~\tan ~\varphi {{~}_{MB}}=\dfrac{{{Z}_{L}}}{{{R}_{2}}} \\
\end{aligned} \right.$
Áp dụng các công thức tính tổng trở, độ lệch pha của u và i và biến đổi toán học tính ra ${{R}_{2}};{{Z}_{L}}~$
Hệ số công suất của đoạn mạch AB: $\cos \varphi =\dfrac{~{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}{~\sqrt{{{\left( {{R}_{1}}+{{R}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-~{{Z}_{C}}~ \right)}^{2}}}}~$
Cách giải:
Đoạn mạch AM có:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{R}_{1}}=40\Omega \\
& {{Z}_{C}}=\dfrac{1}{\omega C} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{Z}_{AM}}=40\sqrt{2\Omega } \\
& \tan {{\varphi }_{AM}}=-\dfrac{{{Z}_{C}}}{{{R}_{1}}}=-1\Rightarrow {{\varphi }_{uAM}}-{{\varphi }_{i}}=-\dfrac{\pi }{4} \\
\end{aligned} \right.$
Dòng điện hiệu dụng chạy qua mạch: $\text{ }I=\dfrac{{{U}_{AM}}}{{{Z}_{AM}}}=\dfrac{50}{40\sqrt{2}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{8}A$
Từ hai biểu thức của điện áp tức thời ở hai đầu đoạn mạch AM và MB ta có:
${{\varphi }_{uMB}}-{{\varphi }_{uAM}}=\dfrac{7\pi }{12}\Rightarrow {{\varphi }_{uAM}}={{\varphi }_{uMB}}-~\dfrac{7\pi }{12}$
Mà: ${{\varphi }_{uAM}}-{{\varphi }_{i}}=-\dfrac{\pi }{4}\Rightarrow {{\varphi }_{uMB}}-\dfrac{7~\pi }{12}-{{\varphi }_{i}}=-\dfrac{\pi }{4}\Rightarrow {{\varphi }_{uMB}}-{{\varphi }_{i}}=~\dfrac{\pi }{3}~$
⇒ $\tan {{\varphi }_{MB}}=\tan \dfrac{\pi }{3}~=\dfrac{{{Z}_{L~}}}{{{R}_{2}}}\Rightarrow {{Z}_{L}}=\sqrt{3}.{{R}_{2}}\left( 1 \right)$
Lại có: ${{Z}_{MB}}=\dfrac{{{U}_{MB~}}}{I}=\dfrac{75\sqrt{2}}{\dfrac{5\sqrt{2}}{8}}=120\Rightarrow \sqrt{R_{2}^{2}\text{ }+Z_{L}^{2}}~=120\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra: $\left\{ \begin{aligned}
& {{R}_{2}}=60\Omega \\
& {{Z}_{L}}=60\sqrt{3}\Omega ~ \\
\end{aligned} \right.$
Hệ số công suất của đoạn mạch:
$\cos \varphi =\dfrac{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}{\sqrt{{{\left( {{R}_{1}}+{{R}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}~ \right)}^{2}}~}}~\Rightarrow \cos \varphi =\dfrac{40+60}{\sqrt{{{\left( 40+60 \right)}^{2}}+{{\left( 60\sqrt{3}-40 \right)}^{2}}}}=0,84$
Độ lệch pha của uAM và uMB so với i được xác định bởi: $\left\{ \begin{aligned}
& \tan ~{{\varphi }_{AM}}=-\dfrac{{{Z}_{C}}}{{{R}_{1}}} \\
& ~\tan ~\varphi {{~}_{MB}}=\dfrac{{{Z}_{L}}}{{{R}_{2}}} \\
\end{aligned} \right.$
Áp dụng các công thức tính tổng trở, độ lệch pha của u và i và biến đổi toán học tính ra ${{R}_{2}};{{Z}_{L}}~$
Hệ số công suất của đoạn mạch AB: $\cos \varphi =\dfrac{~{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}{~\sqrt{{{\left( {{R}_{1}}+{{R}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-~{{Z}_{C}}~ \right)}^{2}}}}~$
Cách giải:
Đoạn mạch AM có:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{R}_{1}}=40\Omega \\
& {{Z}_{C}}=\dfrac{1}{\omega C} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{Z}_{AM}}=40\sqrt{2\Omega } \\
& \tan {{\varphi }_{AM}}=-\dfrac{{{Z}_{C}}}{{{R}_{1}}}=-1\Rightarrow {{\varphi }_{uAM}}-{{\varphi }_{i}}=-\dfrac{\pi }{4} \\
\end{aligned} \right.$
Dòng điện hiệu dụng chạy qua mạch: $\text{ }I=\dfrac{{{U}_{AM}}}{{{Z}_{AM}}}=\dfrac{50}{40\sqrt{2}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{8}A$
Từ hai biểu thức của điện áp tức thời ở hai đầu đoạn mạch AM và MB ta có:
${{\varphi }_{uMB}}-{{\varphi }_{uAM}}=\dfrac{7\pi }{12}\Rightarrow {{\varphi }_{uAM}}={{\varphi }_{uMB}}-~\dfrac{7\pi }{12}$
Mà: ${{\varphi }_{uAM}}-{{\varphi }_{i}}=-\dfrac{\pi }{4}\Rightarrow {{\varphi }_{uMB}}-\dfrac{7~\pi }{12}-{{\varphi }_{i}}=-\dfrac{\pi }{4}\Rightarrow {{\varphi }_{uMB}}-{{\varphi }_{i}}=~\dfrac{\pi }{3}~$
⇒ $\tan {{\varphi }_{MB}}=\tan \dfrac{\pi }{3}~=\dfrac{{{Z}_{L~}}}{{{R}_{2}}}\Rightarrow {{Z}_{L}}=\sqrt{3}.{{R}_{2}}\left( 1 \right)$
Lại có: ${{Z}_{MB}}=\dfrac{{{U}_{MB~}}}{I}=\dfrac{75\sqrt{2}}{\dfrac{5\sqrt{2}}{8}}=120\Rightarrow \sqrt{R_{2}^{2}\text{ }+Z_{L}^{2}}~=120\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra: $\left\{ \begin{aligned}
& {{R}_{2}}=60\Omega \\
& {{Z}_{L}}=60\sqrt{3}\Omega ~ \\
\end{aligned} \right.$
Hệ số công suất của đoạn mạch:
$\cos \varphi =\dfrac{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}{\sqrt{{{\left( {{R}_{1}}+{{R}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}~ \right)}^{2}}~}}~\Rightarrow \cos \varphi =\dfrac{40+60}{\sqrt{{{\left( 40+60 \right)}^{2}}+{{\left( 60\sqrt{3}-40 \right)}^{2}}}}=0,84$
Đáp án B.