. Đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+{{m}^{2}}x+n$ có tọa độ...

Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-4mx+{{m}^{2}}$
Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là $\left( 1;3 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {y}'\left( 1 \right)=0 \\
& y\left( 1 \right)=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3-4m+{{m}^{2}}=0 \\
& 1-2m+{{m}^{2}}+n=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=3 \\
\end{aligned} \right. \\
& n=-{{m}^{2}}+2m+2 \\
\end{aligned} \right.$
$m=1\Rightarrow n=3$ ta được hàm số $y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x+3$
${y}'=3{{x}^{2}}-4x+1\Rightarrow {y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Lập trục xét dấu của ${y}'$ ta suy ra $x=1$ là điểm cực tiểu của hàm số.
Vậy $\left\{ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=3 \\
\end{aligned} \right. $ thỏa mãn $ \Rightarrow m+n=4$.
$m=3\Rightarrow n=-1$ ta được hàm số $y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x-1$
${y}'=3{{x}^{2}}-12x+9\Rightarrow {y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$
Lập trục xét dấu của ${y}'$ ta suy ra $x=1$ là điểm cực đại của hàm số.
Vậy $\left\{ \begin{aligned}
& m=3 \\
& n=-1 \\
\end{aligned} \right.$ không thỏa mãn.