. Đồ thị hàm số $y=x^3-2m{x}^2+m^{2}x+n$ có tọa độ...

Ta có: $y^{\prime }=3x^2-4mx+m^2$
Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là $(1;3)\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& y^{\prime }\left(1\right)=0\\ & y\left(1\right)=3\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& 3-4m+m^2=0\\ & 1-2m+m^2+n=3\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& [\begin{array}{rl}& m=1\\ & m=3\end{array}\\ & n=-m^2+2m+2\end{array}$
$m=1\Rightarrow n=3$ ta được hàm số $y=x^3-2x^2+x+3$
$y^{\prime }=3x^2-4x+1\Rightarrow y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{rl}& x=1\\ & x={\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$
Lập trục xét dấu của $y^{\prime }$ ta suy ra $x=1$ là điểm cực tiểu của hàm số.
Vậy $\{\begin{array}{rl}& m=1\\ & m=3\end{array}$ thỏa mãn $\Rightarrow m+n=4$.
$m=3\Rightarrow n=-1$ ta được hàm số $y=x^3-6x^2+9x-1$
$y^{\prime }=3x^2-12x+9\Rightarrow y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{rl}& x=1\\ & x=3\end{array}$
Lập trục xét dấu của $y^{\prime }$ ta suy ra $x=1$ là điểm cực đại của hàm số.
Vậy $\{\begin{array}{rl}& m=3\\ & n=-1\end{array}$ không thỏa mãn.