Google
Câu hỏi: Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{x-1}$ có bao nhiêu đường tiệm cận
A. $4$.
B. $3$.
C. $1$.
D. $2$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}\!\!\backslash\!\!\left\{ 1 \right\}$.
Ta có: $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{x-1}=+\infty $ ; $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{x-1}=-\infty $.
Do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=1$ làm tiệm cận đứng.
Lại có:
+ $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{x-1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{x\left( 1+\sqrt{1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}} \right)}{x-1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{1+\sqrt{1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}}{1-\dfrac{1}{x}}=2$.
Vậy đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y=2$ làm tiệm cận ngang.
+ $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{x-1}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{x\left( 1-\sqrt{1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}} \right)}{x-1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{1-\sqrt{1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}}{1-\dfrac{1}{x}}=0$.
Vậy đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y=0$ làm tiệm cận ngang.
Do đó đồ thị hàm số đã có 3 đường tiệm cận.
A. $4$.
B. $3$.
C. $1$.
D. $2$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}\!\!\backslash\!\!\left\{ 1 \right\}$.
Ta có: $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{x-1}=+\infty $ ; $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{x-1}=-\infty $.
Do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=1$ làm tiệm cận đứng.
Lại có:
+ $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{x-1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{x\left( 1+\sqrt{1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}} \right)}{x-1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{1+\sqrt{1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}}{1-\dfrac{1}{x}}=2$.
Vậy đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y=2$ làm tiệm cận ngang.
+ $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{x-1}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{x\left( 1-\sqrt{1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}} \right)}{x-1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{1-\sqrt{1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}}{1-\dfrac{1}{x}}=0$.
Vậy đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y=0$ làm tiệm cận ngang.
Do đó đồ thị hàm số đã có 3 đường tiệm cận.
Đáp án B.