Đồ thị của hàm số $y={{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+{{m}^{2}}x+n$ có điểm...

$y={{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+{{m}^{2}}x+n\Rightarrow {y}'=3{{x}^{2}}-4mx+{{m}^{2}}$.
${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=m \\
& x=\dfrac{m}{3} \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( m\ne 0 \right)$
Xét $m<0\Rightarrow \dfrac{m}{3}>m$. Vì đạo hàm của hàm số có hệ số bằng $3>0$ nên $x=\dfrac{m}{3}$ là điểm cực tiểu của hàm số $\Rightarrow \dfrac{m}{3}=1\Rightarrow m=3$ ( loại)
Xét $m>0\Rightarrow \dfrac{m}{3}<m$. Vì đạo hàm của hàm số có hệ số bằng $3>0$ nên $x=m$ là điểm cực tiểu của hàm số $\Rightarrow m=1$ ( thỏa mãn).
Đồ thị của hàm số $y={{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+{{m}^{2}}x+n$ có điểm cực tiểu là $I\left( 1 ; 3 \right)$ nên ta được:
$\left\{ \begin{aligned}
& {y}'\left( 1 \right)=0 \\
& y\left( 1 \right)=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=1 \\
& 1-2m+{{m}^{2}}+n=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=1 \\
& n=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m+n=4$.