Google
Câu hỏi: Đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ đối xứng với đồ thị của hàm số $y={{a}^{x}}$ $\left( a>0,a\ne 1 \right)$ qua điểm $I\left( 1;1 \right)$. Giá trị của biểu thức $f\left( 2+{{\log }_{a}}\dfrac{1}{2018} \right)$ bằng:
A. –2016.
B. –2020.
C. 2016.
D. 2020.
A. –2016.
B. –2020.
C. 2016.
D. 2020.
Gọi ${{x}_{G}}=2+{{\log }_{a}}\dfrac{1}{2018}=2-{{\log }_{a}}2018$.
Ta có $f\left( 2+{{\log }_{a}}\dfrac{1}{2018} \right)=f\left( 2-{{\log }_{a}}2018 \right)=f\left( {{x}_{G}} \right)$.
Giả sử $G\left( {{x}_{G}};{{y}_{G}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và có điểm đối xứng qua điểm I là ${G}'\left( {{x}_{{{G}'}}};{{y}_{{{G}'}}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y={{a}^{x}}$.
Ta có $I\left( 1;1 \right)$ là trung điểm của $G{G}'$.
Do đó ta có $\dfrac{{{x}_{G}}+{{x}_{{{G}'}}}}{2}={{x}_{I}}\Rightarrow \dfrac{2-{{\log }_{a}}2018+{{x}_{{{G}'}}}}{2}=1\Rightarrow {{x}_{{{G}'}}}={{\log }_{a}}2018$.
${G}'\left( {{x}_{{{G}'}}};{{y}_{{{G}'}}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y={{a}^{x}}$ nên ${{y}_{{{G}'}}}={{a}^{{{\log }_{a}}2018}}=2018$.
Ta lại có $\dfrac{{{y}_{G}}+{{y}_{{{G}'}}}}{2}={{y}_{I}}\Rightarrow \dfrac{{{y}_{G}}+2018}{2}=1\Rightarrow {{y}_{G}}=-2016$.
Vậy $f\left( 2+{{\log }_{a}}\dfrac{1}{2018} \right)=f\left( {{x}_{G}} \right)={{y}_{G}}=-2016$.
Ta có $f\left( 2+{{\log }_{a}}\dfrac{1}{2018} \right)=f\left( 2-{{\log }_{a}}2018 \right)=f\left( {{x}_{G}} \right)$.
Giả sử $G\left( {{x}_{G}};{{y}_{G}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và có điểm đối xứng qua điểm I là ${G}'\left( {{x}_{{{G}'}}};{{y}_{{{G}'}}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y={{a}^{x}}$.
Ta có $I\left( 1;1 \right)$ là trung điểm của $G{G}'$.
Do đó ta có $\dfrac{{{x}_{G}}+{{x}_{{{G}'}}}}{2}={{x}_{I}}\Rightarrow \dfrac{2-{{\log }_{a}}2018+{{x}_{{{G}'}}}}{2}=1\Rightarrow {{x}_{{{G}'}}}={{\log }_{a}}2018$.
${G}'\left( {{x}_{{{G}'}}};{{y}_{{{G}'}}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y={{a}^{x}}$ nên ${{y}_{{{G}'}}}={{a}^{{{\log }_{a}}2018}}=2018$.
Ta lại có $\dfrac{{{y}_{G}}+{{y}_{{{G}'}}}}{2}={{y}_{I}}\Rightarrow \dfrac{{{y}_{G}}+2018}{2}=1\Rightarrow {{y}_{G}}=-2016$.
Vậy $f\left( 2+{{\log }_{a}}\dfrac{1}{2018} \right)=f\left( {{x}_{G}} \right)={{y}_{G}}=-2016$.
Đáp án A.