Đồ thị $(C):y=2x^4-4x^2-2$ cắt đường thẳng $d:y=m$ tại...

Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và $d$ là
$2x^4-4x^2-2-m=0.$ (1)
Đặt $t=x^2$, phương trình $(1)$ trở thành
$2t^2-4t-2-m=0$ $\left(2\right)$
Đồ thị $(C)$ cắt $d$ tại $4$ điểm phân biệt khi phương trình $(1)$ có $4$ nghiệm phân biệt, khi đó phương trình $(2)$ có hai nghiệm dương phân biệt
$\iff \{\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\\ & S>0\\ & P>0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& 4-2(-2-m)>0\\ & 2>0\\ & -1-{\displaystyle \frac{m}{2}}>0\end{array}\iff -4<m<-2.$
Gọi $t_1,t_2$ là hai nghiệm dương của $(2)$ với $t_1<t_2$.
Khi đó $(1)$ có $4$ nghiệm phân biệt theo thứ tự là $x_1=-\sqrt{t_1}$, $x_2=-\sqrt{t_2}$, $x_3=\sqrt{t_1}$, $x_4=\sqrt{t_2}$.

Do tính đối xứng qua trục $Oy$ của $(C)$ nên yêu cầu của bài toán trở thành
$\begin{array}{lll}& & \underset{0}{\overset{x_3}{\int }}(2x^4-4x^2-2-m)\text{d}x=\underset{x_3}{\overset{x_4}{\int }}(-2x^4+4x^2+2+m)\text{d}x\\ & \iff & \underset{0}{\overset{x_4}{\int }}(2x^4-4x^2-2-m)\text{d}x=0\\ & \iff & ({\displaystyle \frac{2x^5}{5}}-{\displaystyle \frac{4x^3}{3}}-(2+m)x){|}_0^{x_4}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{2x_4^5}{5}}-{\displaystyle \frac{4x_4^3}{3}}-(2+m)x_4=0\\ & \iff & 6x_4^4-20x_4^2-15(2+m)=0.\end{array}$
Suy ra $x_4$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\{\begin{array}{c}2x_4^4-4x_4^2-2-m=0\\ 6x_4^4-20x_4^2-15(2+m)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}24x_4^4-40x_4^2=0\\ 6x_4^4-20x_4^2-15(2+m)=0\end{array}$
$\{\begin{array}{c}[\begin{array}{c}{x}_4^2=0(l)\\ x_4^2={\displaystyle \frac{5}{3}}\end{array}\\ 6x_4^4-20x_4^2-15(2+m)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_4^2={\displaystyle \frac{5}{3}}\\ m=-{\displaystyle \frac{28}{9}}\text{(TM)}\end{array}$
Vậy $m=-{\displaystyle \frac{28}{9}}$. Do đó $a=28$, $b=9$.
Suy ra $T=a+b=37$.