Đồ thị $(C):y=2{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-2$ cắt đường thẳng $d:y=m$ tại...

Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và $d$ là
$2{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-2-m=0.$ (1)
Đặt $t={{x}^{2}}$, phương trình $(1)$ trở thành
$2{{t}^{2}}-4t-2-m=0$ $\left( 2 \right)$
Đồ thị $(C)$ cắt $d$ tại $4$ điểm phân biệt khi phương trình $(1)$ có $4$ nghiệm phân biệt, khi đó phương trình $(2)$ có hai nghiệm dương phân biệt
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'>0 \\
& S>0 \\
& P>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4-2(-2-m)>0 \\
& 2>0 \\
& -1-\dfrac{m}{2}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -4<m<-2.$
Gọi ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ là hai nghiệm dương của $(2)$ với ${{t}_{1}}<{{t}_{2}}$.
Khi đó $(1)$ có $4$ nghiệm phân biệt theo thứ tự là ${{x}_{1}}=-\sqrt{{{t}_{1}}}$, ${{x}_{2}}=-\sqrt{{{t}_{2}}}$, ${{x}_{3}}=\sqrt{{{t}_{1}}}$, ${{x}_{4}}=\sqrt{{{t}_{2}}}$.

Do tính đối xứng qua trục $Oy$ của $(C)$ nên yêu cầu của bài toán trở thành
$\begin{array}{*{35}{l}}
{} & {} & \int\limits_{0}^{{{x}_{3}}}{(2{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-2-m)}\text{d}x=\int\limits_{{{x}_{3}}}^{{{x}_{4}}}{(-2{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+2+m)}\text{d}x \\
{} & \Leftrightarrow & \int\limits_{0}^{{{x}_{4}}}{(2{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-2-m)}\text{d}x=0 \\
{} & \Leftrightarrow & \left( \dfrac{2{{x}^{5}}}{5}-\dfrac{4{{x}^{3}}}{3}-(2+m)x \right)|_{0}^{{{x}_{4}}}=0 \\
{} & \Leftrightarrow & \dfrac{2x_{4}^{5}}{5}-\dfrac{4x_{4}^{3}}{3}-(2+m){{x}_{4}}=0 \\
{} & \Leftrightarrow & 6x_{4}^{4}-20x_{4}^{2}-15(2+m)=0. \\
\end{array}$
Suy ra ${{x}_{4}}$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ \begin{matrix}
2x_{4}^{4}-4x_{4}^{2}-2-m=0 \\
6x_{4}^{4}-20x_{4}^{2}-15(2+m)=0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
24x_{4}^{4}-40x_{4}^{2}=0 \\
6x_{4}^{4}-20x_{4}^{2}-15(2+m)=0 \\
\end{matrix} \right.$
$\left\{ \begin{matrix}
\left[ \begin{matrix}
x_{4}^{2}=0(l) \\
x_{4}^{2}=\dfrac{5}{3} \\
\end{matrix} \right. \\
6x_{4}^{4}-20x_{4}^{2}-15(2+m)=0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x_{4}^{2}=\dfrac{5}{3} \\
m=-\dfrac{28}{9}\ \text{(TM)} \\
\end{matrix} \right.$
Vậy $m=-\dfrac{28}{9}$. Do đó $a=28$, $b=9$.
Suy ra $T=a+b=37$.