Diện tích phần mặt phẳng bị giới hạn bởi đồ thị hàm số...

Giao điểm của đồ thị $y=(e^{\sin x}+\cos x)\cos x$ với trục Ox là các điểm có hoành độ thỏa mãn phương trình: $e^x\cos x=0\Rightarrow \cos x=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi \Rightarrow x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$
Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi 4 đường trên là:
$S=\underset{0}{\overset{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{\int }}{e}^x\cos xdx-\underset{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{\overset{{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}}{\int }}{e}^x\cos xdx$
Bài toán này ta cần chú ý ${(\sin x)}^{\prime }=\cos x;$
${(\cos x)}^{\prime }=-\sin x$ nên ta sử dụng tích phân dạng vòng:
Ta có: $I=\underset{0}{\overset{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{\int }}{e}^x\cos xdx=(e^x\cos x)|{}_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}+\underset{0}{\overset{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{\int }}{e}^x\sin xdx$
$=e^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}+(e^x\sin x)|{}_0^{\pi }-\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{e}^x\cos xdx=e^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}-1-I$
Suy ra $I={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}-1)$
Tương tự ta có: $\underset{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{\overset{{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}}{\int }}{e}^x\cos xdx={\displaystyle \frac{1}{4}}{e}^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}[(\sqrt{3}-1)e^{{\displaystyle \frac{\pi }{6}}}-2]$
$\Rightarrow S={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}-1)-{\displaystyle \frac{1}{4}}{e}^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}((\sqrt{3}-1)e^{{\displaystyle \frac{\pi }{6}}}-2)\approx 2,824$