Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $x=-1;x=2,y=0$ và...

Ta có: ${y}'=2ax+b$
Do I (1;2) là điểm cực tiểu của $\left( P \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {y}'\left( 1 \right)=0 \\
& y\left( 1 \right)=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2a+b=0 \\
& a+b+c=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=-2a \\
& c=a+2 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó (P) có dạng: $y=a{{x}^{2}}-2ax+a+2$
Do (P) có đỉnh I(1;2) nằm phía trên trục $Ox\Rightarrow y=a{{x}^{2}}-2ax+a+2>0,\forall x\in \mathbb{R}$
Khi đó diện tích hình phẳng $S=\int\limits_{-1}^{2}{\left( a{{x}^{2}}-2ax+a+2 \right)dx}=\left. \left( \dfrac{a{{x}^{3}}}{3}-a{{x}^{2}}+\left( a+2 \right)x \right) \right|_{-1}^{2}=3a+6$
Suy ra: $3a+6=15\Leftrightarrow a=3\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=-6 \\
& c=5 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow T=a+b-c=-8$