Diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác...

Ta có phương trình: ${{\cos }^{2}}x+3\sin x.\cos x=1\Leftrightarrow 3\sin x.\cos x-{{\sin }^{2}}x=0$
$\Leftrightarrow \sin x\left( 3\cos x-\sin x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sin x=0 \\
& \tan x=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=k\pi \\
& x=\alpha +k\pi \\
\end{aligned} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right) $ với $ \tan \alpha =3$.
Gọi A; B là các điểm biểu diễn cho họ nghiệm $x=k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)$ trên đường tròn lượng giác.
Gọi C; D là các điểm biểu diễn cho họ nghiệm $x=\alpha +k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)$ trên đường tròn lượng giác.

Ta cần tính diện tích hình chữ nhật ACBD.
Xét tam giác vuông AOT có: $OT=\sqrt{O{{A}^{2}}+A{{T}^{2}}}=\sqrt{10}$
$\Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{AT}{OT}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}\left( * \right)$
Xét tam giác ACD có:
$\widehat{ADC}=\dfrac{\alpha }{2}\Rightarrow \sin \dfrac{\alpha }{2}=\dfrac{AC}{2}$ và $\cos \dfrac{\alpha }{2}=\dfrac{AD}{2}$.
Từ $\left( * \right)\Leftrightarrow 2\sin \dfrac{\alpha }{2}.\cos \dfrac{\alpha }{2}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$ $\Leftrightarrow 2.\dfrac{AC}{2}.\dfrac{AD}{2}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$
$\Leftrightarrow AC.AD=\dfrac{6}{\sqrt{10}}\Rightarrow {{S}_{ACBD}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{5}$.