Diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác...

Ta có phương trình: ${\cos }^{2}x+3\sin x.\cos x=1\iff 3\sin x.\cos x-{\sin }^{2}x=0$
$\iff \sin x(3\cos x-\sin x)=0\iff [\begin{array}{rl}& \sin x=0\\ & \tan x=3\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x=k\pi \\ & x=\alpha +k\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$ với $\tan \alpha =3$.
Gọi A; B là các điểm biểu diễn cho họ nghiệm $x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$ trên đường tròn lượng giác.
Gọi C; D là các điểm biểu diễn cho họ nghiệm $x=\alpha +k\pi (k\in \mathbb{Z})$ trên đường tròn lượng giác.

Ta cần tính diện tích hình chữ nhật ACBD.
Xét tam giác vuông AOT có: $OT=\sqrt{O{A}^2+A{T}^2}=\sqrt{10}$
$\Rightarrow \sin \alpha ={\displaystyle \frac{AT}{OT}}={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}}(\ast )$
Xét tam giác ACD có:
$\widehat{ADC}={\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\Rightarrow \sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}={\displaystyle \frac{AC}{2}}$ và $\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}={\displaystyle \frac{AD}{2}}$.
Từ $(\ast )\iff 2\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}.\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}}$ $\iff 2.{\displaystyle \frac{AC}{2}}.{\displaystyle \frac{AD}{2}}={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}}$
$\iff AC.AD={\displaystyle \frac{6}{\sqrt{10}}}\Rightarrow S_{ACBD}={\displaystyle \frac{3\sqrt{10}}{5}}$.