Google
Câu hỏi: Điểm $M\left( 2{{m}^{3}};m \right)$ cùng với hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số $y=2{{\text{x}}^{3}}-3\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+6m\left( m+1 \right)x+1$ tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng về tham số thực m?
A. $m\in \left( -4;-2 \right].$
B. $m\in \left( -2;0 \right].$
C. $m\in \left( 0;2 \right].$
D. $m\in \left( 2;4 \right].$
A. $m\in \left( -4;-2 \right].$
B. $m\in \left( -2;0 \right].$
C. $m\in \left( 0;2 \right].$
D. $m\in \left( 2;4 \right].$
Ta có: ${y}'=6{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+6m\left( m+1 \right)$
${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=m \\
& x=m+1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \forall m\in \mathbb{R},$ hàm số luôn có CĐ, CT
Tọa độ điểm CĐ, CT của đồ thị là $A\left( m;2{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+1 \right),B\left( m+1;2{{m}^{3}}+3{{m}^{2}} \right)$
Suy ra $AB=\sqrt{2}$ và phương trình đường thẳng $AB:x+y-2{{m}^{3}}-3{{m}^{2}}-m-1=0$
Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới AB nhỏ nhất.
Ta có : $d\left( M,AB \right)=\dfrac{3{{m}^{2}}+1}{\sqrt{2}}\Rightarrow d\left( M,AB \right)\ge \dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \min d\left( M,AB \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ đạt được khi m = 0.
${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=m \\
& x=m+1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \forall m\in \mathbb{R},$ hàm số luôn có CĐ, CT
Tọa độ điểm CĐ, CT của đồ thị là $A\left( m;2{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+1 \right),B\left( m+1;2{{m}^{3}}+3{{m}^{2}} \right)$
Suy ra $AB=\sqrt{2}$ và phương trình đường thẳng $AB:x+y-2{{m}^{3}}-3{{m}^{2}}-m-1=0$
Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới AB nhỏ nhất.
Ta có : $d\left( M,AB \right)=\dfrac{3{{m}^{2}}+1}{\sqrt{2}}\Rightarrow d\left( M,AB \right)\ge \dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \min d\left( M,AB \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ đạt được khi m = 0.
Đáp án B.