Google
Câu hỏi: Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dự định dựng một cái lều trại có hình parabol nhu hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 6 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Tính thể tích phần không gian bên trong trại.
A. $72{{m}^{3}}$.
B. $35{{m}^{3}}$.
C. $72\pi {{m}^{3}}$.
D. $36\pi {{m}^{3}}$.
A. $72{{m}^{3}}$.
B. $35{{m}^{3}}$.
C. $72\pi {{m}^{3}}$.
D. $36\pi {{m}^{3}}$.
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Giả sử phương trình của parabol là $\left( P \right)$ : $y=a{{x}^{2}}+bx+c$.
Ta có parabol có đỉnh là $\left( 0;3 \right)$ và đi qua điểm $\left( \dfrac{3}{2};0 \right)$ nên có hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& b=0 \\
& c=3 \\
& \dfrac{9}{4}a+c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{-4}{3} \\
& b=0 \\
& c=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( P \right):y=-\dfrac{4}{3}{{x}^{2}}+3$
Cắt vật thể bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $\left( -\dfrac{3}{2}\le x\le \dfrac{3}{2} \right)$ , ta thấy thiết diện thu được là một hình chữ nhật có chiều rộng bằng $-\dfrac{4}{3}{{x}^{2}}+3$ mét và chiều dài bằng 6 mét.
Diện tích thiết diện thu được là $6\left( -\dfrac{4}{3}{{x}^{2}}+3 \right)=-8{{x}^{2}}+18$.
Vậy thể tích phần không gian bên trong trại là $\int\limits_{-\dfrac{3}{2}}^{\dfrac{3}{2}}{\left( -8{{x}^{2}}+18 \right)dx}=36\left( {{m}^{3}} \right)$.
Giả sử phương trình của parabol là $\left( P \right)$ : $y=a{{x}^{2}}+bx+c$.
Ta có parabol có đỉnh là $\left( 0;3 \right)$ và đi qua điểm $\left( \dfrac{3}{2};0 \right)$ nên có hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& b=0 \\
& c=3 \\
& \dfrac{9}{4}a+c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{-4}{3} \\
& b=0 \\
& c=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( P \right):y=-\dfrac{4}{3}{{x}^{2}}+3$
Cắt vật thể bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $\left( -\dfrac{3}{2}\le x\le \dfrac{3}{2} \right)$ , ta thấy thiết diện thu được là một hình chữ nhật có chiều rộng bằng $-\dfrac{4}{3}{{x}^{2}}+3$ mét và chiều dài bằng 6 mét.
Diện tích thiết diện thu được là $6\left( -\dfrac{4}{3}{{x}^{2}}+3 \right)=-8{{x}^{2}}+18$.
Vậy thể tích phần không gian bên trong trại là $\int\limits_{-\dfrac{3}{2}}^{\dfrac{3}{2}}{\left( -8{{x}^{2}}+18 \right)dx}=36\left( {{m}^{3}} \right)$.
Đáp án B.