Đặt $m = \log_{a} a \sqrt{b}$ (với $a, b$ là các số thực thoả...

The Knowledge · 14/3/22

Câu hỏi: Đặt

m = \log_{a} a \sqrt{b}

(với

a, b

là các số thực thoả mãn

1 < a < b

). Giá trị của

m

để biểu thức

P = \log_{a^{2}} a^{2} b + \log_{\sqrt{b}} a

đạt giá trị nhỏ nhất là
A.

0

.
B.

3

.
C.

\frac{3}{2}

.
D.

2

.

1 < a < b \Rightarrow \log_{a} b > 1

.

m = \log_{a} a \sqrt{b} = 1 + \frac{1}{2} \log_{a} b

\Leftrightarrow \log_{a} b = 2 m - 2

> 1 \Leftrightarrow m > \frac{3}{2}

.
Ta có

P = \log_{a^{2}} a^{2} b + \log_{\sqrt{b}} a

= \log_{a^{2}} a^{2} + \log_{a^{2}} b + 2 \log_{b} a

= 1 + \frac{1}{2} (2 m - 2) + \frac{2}{2 m - 2}

= 1 + (m - 1) + \frac{1}{m - 1} \geq 3

.
Suy ra

P_{min} = 3

khi và chỉ khi

{\begin{aligned} m > \frac{3}{2} \\ {(m - 1)}^{2} = 1 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} m > \frac{3}{2} \\ [\begin{aligned} m = 0 \\ m = 2 \end{aligned} \end{aligned} \Leftrightarrow m = 2

.

Đáp án B.

Đặt m=logaab (với a,b là các số thực thoả...