Google
Câu hỏi: Đặt $m={{\log }_{a}}a\sqrt{b}$ (với $a, b$ là các số thực thoả mãn $1<a<b$ ). Giá trị của $m$ để biểu thức $P={{\log }_{{{a}^{2}}}}{{a}^{2}}b+{{\log }_{\sqrt{b}}}a$ đạt giá trị nhỏ nhất là
A. $0$.
B. $3$.
C. $\dfrac{3}{2}$.
D. $2$.
A. $0$.
B. $3$.
C. $\dfrac{3}{2}$.
D. $2$.
$1<a<b\Rightarrow {{\log }_{a}}b>1$.
$m={{\log }_{a}}a\sqrt{b}=1+\dfrac{1}{2}{{\log }_{a}}b$ $\Leftrightarrow {{\log }_{a}}b=2m-2$ $>1\Leftrightarrow m>\dfrac{3}{2}$.
Ta có $P={{\log }_{{{a}^{2}}}}{{a}^{2}}b+{{\log }_{\sqrt{b}}}a$ $={{\log }_{{{a}^{2}}}}{{a}^{2}}+{{\log }_{{{a}^{2}}}}b+2{{\log }_{b}}a$ $=1+\dfrac{1}{2}\left( 2m-2 \right)+\dfrac{2}{2m-2}$ $=1+\left( m-1 \right)+\dfrac{1}{m-1}\ge 3$.
Suy ra ${{P}_{\text{min}}}=3$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& m>\dfrac{3}{2} \\
& {{\left( m-1 \right)}^{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>\dfrac{3}{2} \\
& \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=2$.
$m={{\log }_{a}}a\sqrt{b}=1+\dfrac{1}{2}{{\log }_{a}}b$ $\Leftrightarrow {{\log }_{a}}b=2m-2$ $>1\Leftrightarrow m>\dfrac{3}{2}$.
Ta có $P={{\log }_{{{a}^{2}}}}{{a}^{2}}b+{{\log }_{\sqrt{b}}}a$ $={{\log }_{{{a}^{2}}}}{{a}^{2}}+{{\log }_{{{a}^{2}}}}b+2{{\log }_{b}}a$ $=1+\dfrac{1}{2}\left( 2m-2 \right)+\dfrac{2}{2m-2}$ $=1+\left( m-1 \right)+\dfrac{1}{m-1}\ge 3$.
Suy ra ${{P}_{\text{min}}}=3$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& m>\dfrac{3}{2} \\
& {{\left( m-1 \right)}^{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>\dfrac{3}{2} \\
& \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=2$.
Đáp án B.