Google
Câu hỏi: Đặt điện áp $u={{U}_{0}}\text{cos}\omega \text{t}$ ( ${{U}_{0,}}\omega $ không đổi) vào hai đầu đoạn mạch AB như hình bên. Biết ${{R}_{1}}=3{{\text{R}}_{2}}=30\Omega .$ Gọi $\Delta \varphi $ là độ lệch pha giữa ${{u}_{AB}}$ và điện áp ${{u}_{MB}}$. Điều chỉnh điện dung của tụ điện đến giá trị mà $\Delta \varphi $ đạt cực đại. Giá trị của ${{Z}_{c}}$ bằng
A. $20\Omega .$
B. $10\Omega .$
C. $30\Omega .$
D. $40\Omega .$
A. $20\Omega .$
B. $10\Omega .$
C. $30\Omega .$
D. $40\Omega .$
$$Ta có $\Delta \varphi ={{\varphi }_{AB}}-{{\varphi }_{MB}}$
$\Rightarrow \tan \Delta \varphi =\frac{\tan {{\varphi }_{AB}}-\tan {{\varphi }_{MB}}}{1+\tan {{\varphi }_{AB}}\tan {{\varphi }_{MB}}}=\frac{-{{Z}_{C}}\left( \frac{1}{4{{R}_{2}}}-\frac{1}{{{R}_{2}}} \right)}{1+\frac{Z_{C}^{2}}{4R_{2}^{2}}}$
$=\frac{\frac{3{{Z}_{C}}}{4{{R}_{2}}}}{1+\frac{Z_{C}^{2}}{4R_{2}^{2}}}=\frac{\frac{3}{4{{R}_{2}}}}{\frac{1}{{{Z}_{C}}}+\frac{{{Z}_{C}}}{4{{R}_{2}}}}$
Vậy ${{\left( \tan \Delta \varphi \right)}_{\max }}\Leftrightarrow \frac{1}{{{Z}_{C}}}+\frac{{{Z}_{C}}}{4{{R}_{2}}}\min $
Theo BĐT Côsi $\frac{1}{{{Z}_{C}}}+\frac{{{Z}_{C}}}{4{{R}_{2}}}\ge \frac{1}{{{R}_{2}}}$
Dấu $''=''$ xảy ra khi $\frac{1}{{{Z}_{C}}}=\frac{{{Z}_{C}}}{4{{R}_{2}}}\Leftrightarrow {{Z}_{C}}=2{{R}_{2}}=20\Omega $
$\Rightarrow \tan \Delta \varphi =\frac{\tan {{\varphi }_{AB}}-\tan {{\varphi }_{MB}}}{1+\tan {{\varphi }_{AB}}\tan {{\varphi }_{MB}}}=\frac{-{{Z}_{C}}\left( \frac{1}{4{{R}_{2}}}-\frac{1}{{{R}_{2}}} \right)}{1+\frac{Z_{C}^{2}}{4R_{2}^{2}}}$
$=\frac{\frac{3{{Z}_{C}}}{4{{R}_{2}}}}{1+\frac{Z_{C}^{2}}{4R_{2}^{2}}}=\frac{\frac{3}{4{{R}_{2}}}}{\frac{1}{{{Z}_{C}}}+\frac{{{Z}_{C}}}{4{{R}_{2}}}}$
Vậy ${{\left( \tan \Delta \varphi \right)}_{\max }}\Leftrightarrow \frac{1}{{{Z}_{C}}}+\frac{{{Z}_{C}}}{4{{R}_{2}}}\min $
Theo BĐT Côsi $\frac{1}{{{Z}_{C}}}+\frac{{{Z}_{C}}}{4{{R}_{2}}}\ge \frac{1}{{{R}_{2}}}$
Dấu $''=''$ xảy ra khi $\frac{1}{{{Z}_{C}}}=\frac{{{Z}_{C}}}{4{{R}_{2}}}\Leftrightarrow {{Z}_{C}}=2{{R}_{2}}=20\Omega $
Đáp án A.