Google
Câu hỏi: Con lắc lò xo gồm vật nhỏ có khối lượng $m=100$ g, lò xo có độ cứng $k=50$ N.m một đầu gắn vào vật nhỏ đầu còn lại gắn vào vật $M=100$ g đang nằm trên một bề mặt nằm ngang. Bỏ qua mọi ma sát, cho rằng $M$ đủ dài để $m$ luôn di chuyển trên nó, lấy ${{\pi }^{2}}=10$. Ban đầu cố định $M$, kéo $m$ lệch khỏi vị trí cân bằng của nó một đoạn nhỏ. Thả tự do cho hệ, khi đó chu kì dao động của $m$ bằng
A. 0,15 s.
B. 0,20 s.
C. 0,22 s.
D. 0,17 s.
A. 0,15 s.
B. 0,20 s.
C. 0,22 s.
D. 0,17 s.
Gọi $\overrightarrow{{{V}_{{}}}}$ là vận tốc của vật $M$ và $\overrightarrow{{{v}_{{}}}}$ là vận tốc của vật $m$ so với vật $M$.
Phương trình định luật bảo toàn cho hệ cô lập
$MV+m\left( V+v \right)=0$
→ $V=-\dfrac{mv}{M+m}$ (1)
Khi $m$ ở li độ $x$ thì năng lượng của hệ là
$E=\dfrac{1}{2}M{{V}^{2}}+\dfrac{1}{2}m{{\left( V+v \right)}^{2}}+\dfrac{1}{2}k{{x}^{2}}$ (2)
Thay (1) vào (2)
$E=\dfrac{1}{2}\dfrac{Mm}{M+m}{{v}^{2}}+\dfrac{1}{2}k{{x}^{2}}$
Đạo hàm hai vế phương trình trên theo thời gian
$\dfrac{Mm}{M+m}{x}''+kx=0$ (*)
(*) cho thấy $m$ dao động điều hòa với tần số góc
$\omega =\sqrt{\dfrac{k}{\dfrac{Mm}{M+m}}}=\sqrt{\dfrac{\left( 50 \right)}{\dfrac{\left( {{100.10}^{-3}} \right).\left( {{100.10}^{-3}} \right)}{\left( {{100.10}^{-3}} \right)+\left( {{100.10}^{-3}} \right)}}}=10\pi $ rad/s
Chu kì dao động của vật
$T=\dfrac{2\pi }{\omega }=\dfrac{2\pi }{\left( 10\pi \right)}=0,2$ s
Phương trình định luật bảo toàn cho hệ cô lập
$MV+m\left( V+v \right)=0$
→ $V=-\dfrac{mv}{M+m}$ (1)
Khi $m$ ở li độ $x$ thì năng lượng của hệ là
$E=\dfrac{1}{2}M{{V}^{2}}+\dfrac{1}{2}m{{\left( V+v \right)}^{2}}+\dfrac{1}{2}k{{x}^{2}}$ (2)
Thay (1) vào (2)
$E=\dfrac{1}{2}\dfrac{Mm}{M+m}{{v}^{2}}+\dfrac{1}{2}k{{x}^{2}}$
Đạo hàm hai vế phương trình trên theo thời gian
$\dfrac{Mm}{M+m}{x}''+kx=0$ (*)
(*) cho thấy $m$ dao động điều hòa với tần số góc
$\omega =\sqrt{\dfrac{k}{\dfrac{Mm}{M+m}}}=\sqrt{\dfrac{\left( 50 \right)}{\dfrac{\left( {{100.10}^{-3}} \right).\left( {{100.10}^{-3}} \right)}{\left( {{100.10}^{-3}} \right)+\left( {{100.10}^{-3}} \right)}}}=10\pi $ rad/s
Chu kì dao động của vật
$T=\dfrac{2\pi }{\omega }=\dfrac{2\pi }{\left( 10\pi \right)}=0,2$ s
Đáp án B.