Có tất cả bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-3i \right|=\left| 1-i.\overline{z} \right|$ và $z-\dfrac{9}{z}$ là số thuần ảo?

Phương pháp:
- Đặt $z=x-yi\left( z\ne 0 \right)\Rightarrow \overline{z}=x-yi.$
- Dựa vào giả thiết $\left| z-3i \right|=\left| 1-i.\overline{z} \right|$ tìm $y.$
- Tính cụ thể phần thực, phần ảo của số phức $z-\dfrac{9}{z},$ giải phương trình phần thực bằng 0 tìm $x.$
Cách giải:
Đặt $z=x-yi\left( z\ne 0 \right)\Rightarrow \overline{z}=x-yi.$
Theo bài ra ta có:
$\left| z-3i \right|=\left| 1-i.\overline{z} \right|$
$\Leftrightarrow \left| x+yi-3i \right|=\left| 1-i.\left( x-yi \right) \right|$
$\Leftrightarrow \left| x+yi-3i \right|=\left| 1-y-xi \right|$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}={{\left( 1-y \right)}^{2}}+{{x}^{2}}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& y-3=1-y \\
& y-3=y-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& y=2 \\
& vonghiem \\
\end{aligned} \right.$
Ta lại có:
$z-\dfrac{9}{z}=x+2i-\dfrac{9}{x+2i}=x+2i-\dfrac{9\left( x-2i \right)}{{{x}^{2}}+4}=x-\dfrac{9x}{{{x}^{2}}+4}+\left( 2+\dfrac{18}{{{x}^{2}}+4} \right)i$ là số thuần ảo.
$\Rightarrow x-\dfrac{9x}{{{x}^{2}}+4}=0\Leftrightarrow x\left( 1-\dfrac{9}{{{x}^{2}}+4} \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}+4=9 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm \sqrt{5} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu.