Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện
B. 2.
C. 1.
D. 3.
${{\left| z-1 \right|}^{2}}+\left| z-\bar{z} \right|i+\left( z+\bar{z} \right).{{i}^{2019}}=1$ ?
A. 4.B. 2.
C. 1.
D. 3.
Đặt $z=a+bi$ suy ra $\bar{z}=a-bi$
Ta có ${{\left| z-1 \right|}^{2}}={{\left| a-1+bi \right|}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}$ ; $\left| z-\bar{z} \right|=\left| 2bi \right|=2\left| b \right|$
Và $z+\bar{z}=2a$ ; ${{i}^{2019}}=i.{{\left( {{i}^{2}} \right)}^{1009}}=-i$ nên giả thiết trở thành:
${{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+2\left| b \right|i-2ai=1\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}-1+2\left( \left| b \right|-a \right)i=0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}-1=0 \\
& \left| b \right|-a=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& a=b\ge 0 \\
& a=-b\ge 0 \\
\end{aligned} \right. \\
& {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=b=0 \\
& a=b=1 \\
& a=1;b=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy có tất cả 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có ${{\left| z-1 \right|}^{2}}={{\left| a-1+bi \right|}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}$ ; $\left| z-\bar{z} \right|=\left| 2bi \right|=2\left| b \right|$
Và $z+\bar{z}=2a$ ; ${{i}^{2019}}=i.{{\left( {{i}^{2}} \right)}^{1009}}=-i$ nên giả thiết trở thành:
${{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+2\left| b \right|i-2ai=1\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}-1+2\left( \left| b \right|-a \right)i=0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}-1=0 \\
& \left| b \right|-a=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& a=b\ge 0 \\
& a=-b\ge 0 \\
\end{aligned} \right. \\
& {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=b=0 \\
& a=b=1 \\
& a=1;b=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy có tất cả 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.