Có tất cả bao nhiêu số nguyên $m\in \left( -2020;2020 \right)$ để...

Điều kiện: $3{{x}^{2}}+3x+m+1>0$.
Ta có: ${{\log }_{2}}\dfrac{3{{x}^{2}}+3x+m+1}{2{{x}^{2}}-x+1}={{x}^{2}}-5x+2-m$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \dfrac{3{{x}^{2}}+3x+m+1}{2{{x}^{2}}-x+1} \right)-1={{x}^{2}}-5x+1-m$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\dfrac{3{{x}^{2}}+3x+m+1}{4{{x}^{2}}-2x+2}={{x}^{2}}-5x+1-m$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)+\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)={{\log }_{2}}\left( 4{{x}^{2}}-2x+2 \right)+\left( 4{{x}^{2}}-2x+2 \right).\text{ }\left( 1 \right)$
Xét hàm số: $f\left( t \right)=t+{{\log }_{2}}t$ trên $D=\left( 0;+\infty \right)$, có ${f}'\left( t \right)=1+\dfrac{1}{t.\ln 2}>0,\forall t\in D$.
Do đó hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên D.
Phương trình $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( 4{{x}^{2}}-2x+2 \right)=f\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)$
$\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-2x+2=3{{x}^{2}}+3x+m+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x-m+1=0\text{ }\left( 2 \right)$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta =25-4\left( 1-m \right)>0\Leftrightarrow m>\dfrac{-21}{4}$.
Theo định lý Vi-ét ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=5 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=1-m \\
\end{aligned} \right.$.
Từ $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\ge 155\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\ge 155\Rightarrow 125-15\left( 1-m \right)\ge 155\Rightarrow m\ge 3$.
Kết hợp giả thiết thì $3\le m\le 2020$ có tất cả 2017 số nguyên m thỏa mãn.