Có tất cả bao nhiêu số nguyên $m\in (-2020;2020)$ để...

Điều kiện: $3x^2+3x+m+1>0$.
Ta có: ${\log }_2{\displaystyle \frac{3x^2+3x+m+1}{2x^2-x+1}}=x^2-5x+2-m$
$\iff {\log }_2\left({\displaystyle \frac{3x^2+3x+m+1}{2x^2-x+1}}\right)-1=x^2-5x+1-m$
$\iff {\log }_2{\displaystyle \frac{3x^2+3x+m+1}{4x^2-2x+2}}=x^2-5x+1-m$
$\iff {\log }_2(3x^2+3x+m+1)+(3x^2+3x+m+1)={\log }_2(4x^2-2x+2)+(4x^2-2x+2).\left(1\right)$
Xét hàm số: $f\left(t\right)=t+{\log }_{2}t$ trên $D=(0;+\mathrm{\infty })$, có $f^{\prime }\left(t\right)=1+{\displaystyle \frac{1}{t.\ln 2}}>0,\mathrm{\forall }t\in D$.
Do đó hàm số $f\left(t\right)$ đồng biến trên D.
Phương trình $\left(1\right)\iff f(4x^2-2x+2)=f(3x^2+3x+m+1)$
$\iff 4x^2-2x+2=3x^2+3x+m+1\iff x^2-5x-m+1=0\left(2\right)$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\iff \mathrm{\Delta }=25-4(1-m)>0\iff m>{\displaystyle \frac{-21}{4}}$.
Theo định lý Vi-ét ta có $\{\begin{array}{rl}& x_1+x_2=5\\ & x_1{x}_2=1-m\end{array}$.
Từ $x_1^3+x_2^3\ge 155\iff {(x_1+x_2)}^3-3x_1{x}_2(x_1+x_2)\ge 155\Rightarrow 125-15(1-m)\ge 155\Rightarrow m\ge 3$.
Kết hợp giả thiết thì $3\le m\le 2020$ có tất cả 2017 số nguyên m thỏa mãn.