Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình $z^{2}+m z+5=0$ có hai nghiệm phức $z_{1}, z_{2}$ thoả mãn $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|=2 \sqrt{5}$.
A. 9.
B. 8.
C. 11.
D. 10.
A. 9.
B. 8.
C. 11.
D. 10.
$z_{1}+z_{2}=-m, z_{1} z_{2}=5,\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|=2 \sqrt{5}$ và
$2\left|z_{1}\right|^{2}+2\left|z_{2}\right|^{2}=\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2}+\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2}$
$\Leftrightarrow 2\left(\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|\right)^{2}-4\left|z_{1} z_{2}\right|=\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2}+\left|\left(z_{1}+z_{2}\right)^{2}-4 z_{1} z_{2}\right|$
$\Leftrightarrow 2(2 \sqrt{5})^{2}-20=|-m|^{2}+\left|m^{2}-20\right|$
$\Leftrightarrow m^{2}+\left|m^{2}-20\right|=20 \Leftrightarrow\left|m^{2}-20\right|=20-m^{2} \Leftrightarrow 20-m^{2} \leqslant 0$
Do đó $m \in\{-4,-3, \ldots, 4\}$ có tất cả 9 số nguyên thoả mãn.
$2\left|z_{1}\right|^{2}+2\left|z_{2}\right|^{2}=\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2}+\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2}$
$\Leftrightarrow 2\left(\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|\right)^{2}-4\left|z_{1} z_{2}\right|=\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2}+\left|\left(z_{1}+z_{2}\right)^{2}-4 z_{1} z_{2}\right|$
$\Leftrightarrow 2(2 \sqrt{5})^{2}-20=|-m|^{2}+\left|m^{2}-20\right|$
$\Leftrightarrow m^{2}+\left|m^{2}-20\right|=20 \Leftrightarrow\left|m^{2}-20\right|=20-m^{2} \Leftrightarrow 20-m^{2} \leqslant 0$
Do đó $m \in\{-4,-3, \ldots, 4\}$ có tất cả 9 số nguyên thoả mãn.
Đáp án A.