Có tất cả bao nhiêu số dương a thỏa mãn đẳng thức sau: ${{\log...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu số dương a thỏa mãn đẳng thức sau:

\log_{2} a + \log_{3} a + \log_{5} a = \log_{2} a . \log_{3} a . \log_{5} a ?

A. 1.
B. 0.
C. 3.
D. 2.

Điều kiện:

a > 0

Ta có:

\log_{2} a + \log_{3} a + \log_{5} a = \log_{2} a . \log_{3} a . \log_{5} a

\Leftrightarrow \log_{2} a + \log_{3} 2. \log_{2} a + \log_{5} 2. \log_{2} a = \log_{2} a . \log_{3} 2. \log_{2} a . \log_{5} 2. \log_{2} a

\Leftrightarrow \log_{2} a (1 + \log_{3} 2 + \log_{5} 2) = \log_{2}^{3} a . \log_{3} 2. \log_{5} 2

\Leftrightarrow \log_{2} a (\log_{2}^{2} a . \log_{3} 2. \log_{5} 2 - 1 - \log_{3} 2 - \log_{5} 2) = 0

\Leftrightarrow [\begin{aligned} \log_{2} a = 0 \\ \log_{2}^{2} . \log_{3} 2. \log_{5} 2 - 1 - \log_{3} 2 - \log_{5} 2 = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} a = 1 \\ \log_{2}^{2} a = \frac{1 + \log_{3} 2 + \log_{5} 2}{\log_{3} 2. \log_{5} 2} \end{aligned}

\Leftrightarrow [\begin{aligned} a = 1 \\ \log_{2} a = \sqrt{\frac{1 + \log_{3} 2 + \log_{5} 2}{\log_{3} 2. \log_{5} 2}} = t_{1} \\ \log_{2} a = - \sqrt{\frac{1 + \log_{3} 2 + \log_{5} 2}{\log_{3} 2. \log_{5} 2}} = t_{2} \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} a = 1 \\ a = 2^{t_{1}} > 0 \\ a = 2^{t_{2}} > 0 \end{aligned}

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm

a > 0.

Công thức đổi cơ số:

\log_{a} c = \log_{a} b . \log_{b} c

Đáp án C.