Có tất cả bao nhiêu số b nguyên dương sao cho tồn tại đúng hai số...

Ta có $b{{.2}^{{{a}^{2}}-6a-1}}+{{b}^{2}}{{.2}^{2{{a}^{2}}-12a-1}}-3=7.{{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}-6a+{{\log }_{2}}b \right)$ $$
$\Leftrightarrow {{2}^{{{a}^{2}}-6a+{{\log }_{2}}b}}+{{2}^{2{{a}^{2}}-12a+2.{{\log }_{2}}b}}-6=14.{{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}-6a+{{\log }_{2}}b \right)$
Đặt $x={{a}^{2}}-6a+{{\log }_{2}}b$ $\left( x>0 \right)$.
Phương trình (1) trở thành ${{2}^{x}}+{{4}^{x}}-6-14{{\log }_{2}}x=0$ (2)
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{x}}+{{4}^{x}}-6-14{{\log }_{2}}x$ trên tập $\left( 0;+\infty \right)$
$f'\left( x \right)={{2}^{x}}.\ln 2+{{4}^{x}}.\ln 4-\frac{14}{x.\ln 2}\Rightarrow f''\left( x \right)={{2}^{x}}.{{\left( \ln 2 \right)}^{2}}+{{4}^{x}}.{{\left( \ln 4 \right)}_{2}}+\frac{14}{{{x}^{2}}.\ln 2}$
$\Rightarrow f''\left( x \right)>0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$ $\Rightarrow $ phương trình $f'\left( x \right)=0$ có nhiều nhất một nghiệm
$\Rightarrow $ phương trình $f\left( x \right)=0$ có nhiều nhất hai nghiệm hay phương trình (2) có nhiều nhất 2 nghiệm, ta thấy phương trình (2) có hai nghiệm là $x=1$ và $x=2$.
Vậy ta có ${{a}^{2}}-6a+{{\log }_{2}}b=1$ và ${{a}^{2}}-6a+{{\log }_{2}}b=2$
hay ${{a}^{2}}-6a=1-{{\log }_{2}}b$ (3) và ${{a}^{2}}-6a=2-{{\log }_{2}}b$ (4)
Xét hàm số $g\left( a \right)={{a}^{2}}-6a$, ta có $g'\left( a \right)=2a-6\Rightarrow g'\left( a \right)=0\Leftrightarrow a=3$
Ta có bảng biến thiên

Để có đúng hai giá trị của a thoả mãn $b{{.2}^{{{a}^{2}}-6a-1}}+{{b}^{2}}{{.2}^{2{{a}^{2}}-12a-1}}-3=7.{{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}-6a+{{\log }_{2}}b \right)$
thì phương trình (3) (ẩn $a$ ) vô nghiệm, phương trình (4) (ẩn $a$ ) có hai nghiệm phân biệt
Từ bảng biến thiên suy ra $\left\{ \begin{align}
& 1-{{\log }_{2}}b<-9 \\
& 2-{{\log }_{2}}b>-9 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow {{2}^{10}}<b<{{2}^{11}}$
Do b là số nguyên dương nên có 1023 giá trị b thỏa mãn.