Có tất cả bao nhiêu số b nguyên dương sao cho tồn tại đúng hai số...

Ta có \)">b{{.2}^{{{a}^{2}}-6a-1}}+{{b}^{2}}{{.2}^{2{{a}^{2}}-12a-1}}-3=7.{{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}-6a+{{\log }_{2}}b \right)$ $$

Đặt .
Phương trình (1) trở thành (2)
Xét hàm số trên tập

phương trình có nhiều nhất một nghiệm
phương trình có nhiều nhất hai nghiệm hay phương trình (2) có nhiều nhất 2 nghiệm, ta thấy phương trình (2) có hai nghiệm là và .
Vậy ta có và
hay (3) và (4)
Xét hàm số , ta có
Ta có bảng biến thiên

Để có đúng hai giá trị của a thoả mãn
thì phương trình (3) (ẩn ) vô nghiệm, phương trình (4) (ẩn ) có hai nghiệm phân biệt
Từ bảng biến thiên suy ra
Do b là số nguyên dương nên có 1023 giá trị b thỏa mãn.