Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn $\left[ -2020;2020 \right]$ của tham số m để đường thẳng $y=x+m$ cắt đồ thị hàm số...

Phương pháp:
- Tìm TXĐ
- Xét phương trình hoành độ giao điểm, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn x
- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn TXĐ
- Đối chiếu điều kiện đề bài để tìm các số nguyên m thỏa mãn
Cách giải:
TXĐ: $D=R\backslash \left\{ 1 \right\}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{2x-3}{x-1}=x+m\left( x\ne 1 \right)$
$\Leftrightarrow 2x-3=\left( x-1 \right)\left( x+m \right)$
$\Leftrightarrow 2x-3={{x}^{2}}+mx-x-m$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( m-3 \right)x-m+3=0\left( * \right)$
Để đường thẳng $y=x+m$ cắt đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x-3}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta ={{\left( m-3 \right)}^{2}}-4\left( -m+3 \right)>0 \\
& 1+\left( m-3 \right).1-m+3\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-6m+9+4m-12>0 \\
& 1\ne 0\left( \text{luôn đúng} \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-3>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>3 \\
& m<-1 \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp với điều kiện bài toán suy ra $m\in \left[ -2020,-1 \right)\cup \left( 3,2020 \right],m\in Z$
Vậy có $2019+2017=4036$ giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán