Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số...

Ta có: $y'=4m{{x}^{3}}-2\left( m-5 \right)x$.
TH1: $m=0\Rightarrow y'=10x>0\Leftrightarrow x>0\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Do đó $m=0$ thỏa mãn.
TH2: $m\ne 0$
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ khi và chỉ khi $y'\ge 0\ \forall x\in \left( 0;+\infty \right)$.
$\begin{aligned}
& \ \ \ \ 4m{{x}^{3}}-2\left( m-5 \right)x\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow x\left[ 4m{{x}^{2}}-2\left( m-5 \right) \right]\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right) \\
& \Leftrightarrow 4m{{x}^{2}}-2\left( m-5 \right)\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow g\left( x \right)=2m{{x}^{2}}-m+5\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right) \\
& \Leftrightarrow \underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right)\ge 0 \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $g\left( x \right)=2m{{x}^{2}}-m+5$ ta có $g'\left( x \right)=4mx=0\Leftrightarrow x=0$.
TH1: $m>0$
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên $\Rightarrow g\left( 0 \right)\ge 0\Leftrightarrow -m+5\ge 0\Leftrightarrow m\le 5\Rightarrow 0<m\le 5$.
TH2: $m<0\Rightarrow $ Không tồn tại $\underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right)$.
Vậy $0\le m\le 5$.