Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số

y = m x^{4} - (m - 5) x^{2} - 3

đồng biến trên khoảng

(0; + \infty) .

.
A. 6.
B. 4.
C. 3.
D. 5.

Ta có:

y^{'} = 4 m x^{3} - 2 (m - 5) x

.
TH1: $m = 0 \Rightarrow y^{'} = 10 x > 0 \Leftrightarrow x > 0 \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên khoảng

(0; + \infty)

.
Do đó

m = 0

thỏa mãn.
TH2: $m \neq 0$
Hàm số đồng biến trên khoảng

(0; + \infty)

khi và chỉ khi

y^{'} \geq 0 \forall x \in (0; + \infty)

.

\begin{aligned} 4 m x^{3} - 2 (m - 5) x \geq 0, \forall x \in (0; + \infty) \Leftrightarrow x [4 m x^{2} - 2 (m - 5)] \geq 0, \forall x \in (0; + \infty) \\ \Leftrightarrow 4 m x^{2} - 2 (m - 5) \geq 0, \forall x \in (0; + \infty) \Leftrightarrow g (x) = 2 m x^{2} - m + 5 \geq 0, \forall x \in (0; + \infty) \\ \Leftrightarrow min_{[0; + \infty)} g (x) \geq 0 \end{aligned}

Xét hàm số

g (x) = 2 m x^{2} - m + 5

ta có

g^{'} (x) = 4 m x = 0 \Leftrightarrow x = 0

.
TH1:

m > 0

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên

\Rightarrow g (0) \geq 0 \Leftrightarrow - m + 5 \geq 0 \Leftrightarrow m \leq 5 \Rightarrow 0 < m \leq 5

.
TH2:

m < 0 \Rightarrow

Không tồn tại

min_{[0; + \infty)} g (x)

.
Vậy

0 \leq m \leq 5

.

Đáp án A.