Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $y$ để phương trình $\ln...

Đặt ${{\log }_{5}}y=m$ và u=ln(m+sinx) ta được hệ phương trình: $\left\{ \begin{aligned}
& u=\ln \left( m+\sin x \right) \\
& \ln \left( m+u \right)=\sin x \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{e}^{u}}=m+\sin x \\
& {{e}^{\sin x}}=m+u \\
\end{aligned} \right.$
Từ hệ phương trình ta suy ra: ${{e}^{u}}+u={{e}^{\sin x}}+\sin x \left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{e}^{t}}+t$ có ${{f}^{'}}(t)={{e}^{t}}+1>0,\forall t\in \mathbb{R}\Rightarrow $ Hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( u \right)=f\left( \sin x \right)\Leftrightarrow u=\sin x$
Khi đó ta được: $\ln \left( m+\sin x \right)=\sin x\Leftrightarrow {{e}^{\sin x}}-\sin x=m \left( ** \right)$
Đặt $a=\operatorname{s}\text{inx},a\in \left[ -1;1 \right]$ Phương trình $\left( ** \right)$ trở thành: ${{e}^{a}}-a=m$ (**)
Xét hàm số $g(a)={{e}^{a}}-a$ liên tục trên $\left[ -1 ; 1 \right].$
${g}'\left( a \right)={{e}^{a}}-1$.
${g}'\left( a \right)=0\Leftrightarrow a=0$.
Bảng biến thiên:

Suy ra $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} g(a)=g(1)=e-1,\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} g(a)=g(0)=1$.
Hệ phương trình ban đầu có nghiệm $\Leftrightarrow $ phương trình $\left( ** \right)$ có nghiệm $\Leftrightarrow $ $1\le m\le e-1$
$\Leftrightarrow 1\le {{\log }_{5}}y\le e-1\Leftrightarrow 5\le y\le {{5}^{e-1}}$. Vì $y$ nguyên nên $5\le y\le 15$, suy ra có $11$ số nguyên $y$.