Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $y$ để phương trình $\ln...

Đặt ${\log }_{5}y=m$ và u=ln(m+sinx) ta được hệ phương trình: $\{\begin{array}{rl}& u=\ln (m+\sin x)\\ & \ln (m+u)=\sin x\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& e^u=m+\sin x\\ & e^{\sin x}=m+u\end{array}$
Từ hệ phương trình ta suy ra: $e^u+u=e^{\sin x}+\sin x(\ast )$
Xét hàm số $f\left(t\right)=e^t+t$ có $f^{{}^{\prime }}(t)=e^t+1>0,\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R}\Rightarrow$ Hàm số $f\left(t\right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Do đó $(\ast )\iff f\left(u\right)=f(\sin x)\iff u=\sin x$
Khi đó ta được: $\ln (m+\sin x)=\sin x\iff e^{\sin x}-\sin x=m(\ast \ast )$
Đặt $a=\mathrm{s}\text{inx},a\in [-1;1]$ Phương trình $(\ast \ast )$ trở thành: $e^a-a=m$ (**)
Xét hàm số $g(a)=e^a-a$ liên tục trên $[-1;1].$
$g^{\prime }\left(a\right)=e^a-1$.
$g^{\prime }\left(a\right)=0\iff a=0$.
Bảng biến thiên:

Suy ra $\underset{[-1;1]}{max}g(a)=g(1)=e-1,\underset{[-1;1]}{min}g(a)=g(0)=1$.
Hệ phương trình ban đầu có nghiệm $\iff$ phương trình $(\ast \ast )$ có nghiệm $\iff$ $1\le m\le e-1$
$\iff 1\le {\log }_{5}y\le e-1\iff 5\le y\le 5^{e-1}$. Vì $y$ nguyên nên $5\le y\le 15$, suy ra có $11$ số nguyên $y$.