Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để tồn tại duy nhất giá trị nguyên của $y$ sao cho thỏa mãn bất phương trình ${{e}^{2y}}+4{{x}^{2}}y-{{y}^{2}}+x>\ln \left( {{x}^{2}}-y \right)$ ?
A. $1$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $4$.
A. $1$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $4$.
Điều kiện ban đầu: ${{x}^{2}}-y>0\Leftrightarrow y<{{x}^{2}}$
Đầu tiên ta có bất phương trình tương đương với: ${{e}^{2y}}+4{{x}^{2}}y-{{y}^{2}}+x-\ln \left( {{x}^{2}}-y \right)>0$
Xét hàm số theo biến $y$ tức $f\left( y \right)={{e}^{2y}}+4{{x}^{2}}y-{{y}^{2}}+x-\ln \left( {{x}^{2}}-y \right)$ trên $\left( -\infty ;{{x}^{2}} \right)$ ta có:
${f}'\left( y \right)=2{{e}^{2y}}+4{{x}^{2}}-2y+\dfrac{1}{{{x}^{2}}-y}>0$ trên $\left( -\infty ;{{x}^{2}} \right)$ nên hàm số $f\left( y \right)$ đồng biến trên $\left( -\infty ;{{x}^{2}} \right)$
Từ đó ta có bất phương trình $f\left( y \right)>0\Leftrightarrow {{f}^{-1}}\left( 0 \right)<y<{{x}^{2}}$
Ta có nhận xét như sau: do tồn tại duy nhất giá trị nguyên của $y$ nên suy ra khoảng $\left( {{f}^{-1}}\left( 0 \right);{{x}^{2}} \right)$ của giá trị $y$ cũng chứa duy nhất một giá trị nguyên, khi đó giá trị của $y$ sẽ chạy từ ${{x}^{2}}-1$ đến ${{x}^{2}}$, tức ${{x}^{2}}-1<{{f}^{-1}}\left( 0 \right)<y<{{x}^{2}}$, từ đó ta suy ra mệnh đề này chỉ xảy ra khi và chỉ khi:
$\begin{aligned}
& {{f}^{-1}}\left( 0 \right)>{{x}^{2}}-1\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}-1 \right)<0\Leftrightarrow {{e}^{2\left( {{x}^{2}}-1 \right)}}+4{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-1 \right)-{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}+x-\ln \left( {{x}^{2}}-\left( {{x}^{2}}-1 \right) \right)<0 \\
& \Leftrightarrow {{e}^{2\left( {{x}^{2}}-1 \right)}}+4{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-1 \right)-\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1 \right)+x>0\Leftrightarrow {{e}^{2\left( {{x}^{2}}-1 \right)}}+3{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+x-1<0 \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $g\left( x \right)={{e}^{2\left( {{x}^{2}}-1 \right)}}+3{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+x-1$ có ${g}'\left( x \right)=0$ có một nghiệm duy nhất
Suy ra phương trình $g\left( x \right)=0$ có không quá hai nghiệm
Từ đó ta giải ra bất phương trình $g\left( x \right)<0$ có chứa 1 giá trị nguyên $x=0$ tức có 1 giá trị nguyên $x$ sao cho thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Đầu tiên ta có bất phương trình tương đương với: ${{e}^{2y}}+4{{x}^{2}}y-{{y}^{2}}+x-\ln \left( {{x}^{2}}-y \right)>0$
Xét hàm số theo biến $y$ tức $f\left( y \right)={{e}^{2y}}+4{{x}^{2}}y-{{y}^{2}}+x-\ln \left( {{x}^{2}}-y \right)$ trên $\left( -\infty ;{{x}^{2}} \right)$ ta có:
${f}'\left( y \right)=2{{e}^{2y}}+4{{x}^{2}}-2y+\dfrac{1}{{{x}^{2}}-y}>0$ trên $\left( -\infty ;{{x}^{2}} \right)$ nên hàm số $f\left( y \right)$ đồng biến trên $\left( -\infty ;{{x}^{2}} \right)$
Từ đó ta có bất phương trình $f\left( y \right)>0\Leftrightarrow {{f}^{-1}}\left( 0 \right)<y<{{x}^{2}}$
Ta có nhận xét như sau: do tồn tại duy nhất giá trị nguyên của $y$ nên suy ra khoảng $\left( {{f}^{-1}}\left( 0 \right);{{x}^{2}} \right)$ của giá trị $y$ cũng chứa duy nhất một giá trị nguyên, khi đó giá trị của $y$ sẽ chạy từ ${{x}^{2}}-1$ đến ${{x}^{2}}$, tức ${{x}^{2}}-1<{{f}^{-1}}\left( 0 \right)<y<{{x}^{2}}$, từ đó ta suy ra mệnh đề này chỉ xảy ra khi và chỉ khi:
$\begin{aligned}
& {{f}^{-1}}\left( 0 \right)>{{x}^{2}}-1\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}-1 \right)<0\Leftrightarrow {{e}^{2\left( {{x}^{2}}-1 \right)}}+4{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-1 \right)-{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}+x-\ln \left( {{x}^{2}}-\left( {{x}^{2}}-1 \right) \right)<0 \\
& \Leftrightarrow {{e}^{2\left( {{x}^{2}}-1 \right)}}+4{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-1 \right)-\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1 \right)+x>0\Leftrightarrow {{e}^{2\left( {{x}^{2}}-1 \right)}}+3{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+x-1<0 \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $g\left( x \right)={{e}^{2\left( {{x}^{2}}-1 \right)}}+3{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+x-1$ có ${g}'\left( x \right)=0$ có một nghiệm duy nhất
Suy ra phương trình $g\left( x \right)=0$ có không quá hai nghiệm
Từ đó ta giải ra bất phương trình $g\left( x \right)<0$ có chứa 1 giá trị nguyên $x=0$ tức có 1 giá trị nguyên $x$ sao cho thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Đáp án A.