Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để phương trình ${{6}^{x}}+(3-m){{.2}^{x}}-m=0$ có nghiệm thuộc khoảng (0;1)?
A. 3
B. 1
C. Vô số
D. 2
A. 3
B. 1
C. Vô số
D. 2
Ta có ${{6}^{x}}+(3-m){{.2}^{x}}-m=0\Leftrightarrow {{6}^{x}}+{{3.2}^{x}}=({{2}^{x}}+1).m$
$\Leftrightarrow m=\dfrac{{{6}^{x}}+{{3.2}^{x}}}{{{2}^{x}}+1}\Leftrightarrow m=\dfrac{{{3}^{x}}+3}{{{2}^{-x}}+1}$
Xét hàm số $f(x)=\dfrac{{{3}^{x}}+3}{{{2}^{-x}}+1}$ trên (0,1), có $f'(x)=\dfrac{{{3}^{x}}.\ln 3({{2}^{-x}}+1)+({{3}^{x}}+3){{.2}^{-x}}\ln 2}{{{({{2}^{-x}}+1)}^{2}}}>0$
Suy ra f(x) đồng biến trên do đó $m=f(x)$, do đó $f(0)<f(x)<f(1)\Leftrightarrow 2<f(x)<4$
Để phương trình $m=f(x)$ có nghiệm khi và chỉ khi $2<m<4$
Mặt khác $m\in \mathbb{Z}$ nên m = 3 là giá trị nguyên duy nhất.
$\Leftrightarrow m=\dfrac{{{6}^{x}}+{{3.2}^{x}}}{{{2}^{x}}+1}\Leftrightarrow m=\dfrac{{{3}^{x}}+3}{{{2}^{-x}}+1}$
Xét hàm số $f(x)=\dfrac{{{3}^{x}}+3}{{{2}^{-x}}+1}$ trên (0,1), có $f'(x)=\dfrac{{{3}^{x}}.\ln 3({{2}^{-x}}+1)+({{3}^{x}}+3){{.2}^{-x}}\ln 2}{{{({{2}^{-x}}+1)}^{2}}}>0$
Suy ra f(x) đồng biến trên do đó $m=f(x)$, do đó $f(0)<f(x)<f(1)\Leftrightarrow 2<f(x)<4$
Để phương trình $m=f(x)$ có nghiệm khi và chỉ khi $2<m<4$
Mặt khác $m\in \mathbb{Z}$ nên m = 3 là giá trị nguyên duy nhất.
Đáp án B.