Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mthuộc khoảng (- 20;20) để với mọi cặp hai số (;x y) có tổng lớn hơn 1 đều đồng thời thỏa mãn $\log _{3}^{2}\left( 2x+4y-1 \right)+2\left( m-1 \right){{\log }_{3}}\left( 1-2y \right)+{{m}^{2}}-9>0$ và
${{e}^{3x+y}}-{{e}^{2x-2y+1}}=1-x-3y?$
A. 15
B. 17
C. 14
D. 16
${{e}^{3x+y}}-{{e}^{2x-2y+1}}=1-x-3y?$
A. 15
B. 17
C. 14
D. 16
Phương pháp:
- Giải phương trình ${{e}^{3x+y}}-{{e}^{2x-2y+1}}=1-x-3y$ bằng cách đưa về hàm đặc trưng, tìm được mối liên hệ của x;y.
- Thay vào bất phương trình còn lại, giải tìm điều kiện của mthỏa mãn.
Cách giải:
ĐKXĐ:
$\left\{ \begin{aligned}
& 2x+4y-1>0 \\
& 1-2y>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2x+4y>1 \\
& y<\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có :
$\begin{array}{*{35}{l}}
{{e}^{3x+y}}-{{e}^{2x-2y~+~1}}~=1-x-~3~y~ \\
\Leftrightarrow {{e}^{3x+y}}-{{e}^{2x-2y~+~1}}=\left( 2x-2y+1 \right)-\left( 3~x+~y~ \right) \\
\Leftrightarrow {{e}^{3x+y}}+\left( 3x+y \right)={{e}^{2x-2y~+~1}}~+\left( 2x-2y~+~1 \right)\left( 1~ \right)~ \\
\end{array}$
Xét hàm số đặc trưng : $f\left( t \right)={{e}^{t}}+t$ trên $\mathbb{R}$ ta có $f'\left( t \right)={{e}^{t}}+1>0.\forall t\in \mathbb{R}$
Do đó, hàm số $f\left( t \right)$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$
Mà theo (1) ta có $f\left( 3x+y \right)=f\left( 2x-2y+1 \right).~$
$\Leftrightarrow 3x+y=2x-2y+1\Leftrightarrow x=1-3y.~$
Theo bài ra ta có $:x+y>1\Leftrightarrow 1-3y+y>1\Leftrightarrow y<0\Leftrightarrow x>1.~$
Thay $x=1-3y$ vào bất phương trình $\log \dfrac{2}{3}\left( 2x+4y-1 \right)+2\left( m-1 \right){{\log }_{3}}\left( 1-2y \right)+{{m}^{2}}-9>0$ ta được:
$\begin{array}{*{35}{l}}
log\dfrac{2}{3}\left( 2\left( 1-3y \right)+4y-1 \right)+2\left( m-1 \right)lo{{g}_{3}}~\left( 1-2y \right)~+m{{~}^{2}}-9>~0 \\
\Leftrightarrow log\dfrac{2}{3}\left( 1-2y \right)+2\left( m-1 \right)lo{{g}_{3}}~\left( 1-2y \right)~+m{{~}^{2}}~-9>~0~ \\
\end{array}$
Đặt t $=lo{{g}_{3}}\left( 1-2y \right).Do1-2y>1\Rightarrow t=lo{{g}_{3}}\left( 1-2y \right)>0.~$
Khi đó, bất phương trình trở thành $f\left( t \right)={{t}^{2}}+2\left( m-1 \right)t+{{m}^{2}}-9>0,\forall t>0.~$
TH1: $f\left( \text{t} \right)\text{}0,\forall \text{ t}\in \mathbb{R}~$
$\Delta '<0\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}-{{m}^{2}}+9<0\Leftrightarrow 10-2m<0\Leftrightarrow m>5$
TH2: Phương trình $f\left( t \right)=0$ có hai nghiệm $~{{t}_{1}},{{t}_{2}}$ thỏa mãn ${{t}_{1}}\le {{t}_{2}}\le 0.~$
$\left\{ \begin{aligned}
& \Delta '\ge 0 \\
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}\le 0 \\
& {{t}_{1}}{{t}_{2}}\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( m-1 \right)}^{2}}-{{m}^{2}}+9\ge 0 \\
& -\left( m-1 \right)\le 0 \\
& {{m}^{2}}-9\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le 5 \\
& m\ge 1 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\ge 3 \\
& {{m}^{2}}\le -3 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 3\le m\le 5$
Kết hợp 2 trường hợp ta có m≥ 3 .
Mặt khác mlà số nguyên thuộc khoảng (- 20;20 ) nên m∈ { 3;4;5;....;18;19 } là các giá trị của mthỏa mãn.
Vậy có tất cả 17 giá trị nguyên của mthỏa mãn.
- Giải phương trình ${{e}^{3x+y}}-{{e}^{2x-2y+1}}=1-x-3y$ bằng cách đưa về hàm đặc trưng, tìm được mối liên hệ của x;y.
- Thay vào bất phương trình còn lại, giải tìm điều kiện của mthỏa mãn.
Cách giải:
ĐKXĐ:
$\left\{ \begin{aligned}
& 2x+4y-1>0 \\
& 1-2y>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2x+4y>1 \\
& y<\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có :
$\begin{array}{*{35}{l}}
{{e}^{3x+y}}-{{e}^{2x-2y~+~1}}~=1-x-~3~y~ \\
\Leftrightarrow {{e}^{3x+y}}-{{e}^{2x-2y~+~1}}=\left( 2x-2y+1 \right)-\left( 3~x+~y~ \right) \\
\Leftrightarrow {{e}^{3x+y}}+\left( 3x+y \right)={{e}^{2x-2y~+~1}}~+\left( 2x-2y~+~1 \right)\left( 1~ \right)~ \\
\end{array}$
Xét hàm số đặc trưng : $f\left( t \right)={{e}^{t}}+t$ trên $\mathbb{R}$ ta có $f'\left( t \right)={{e}^{t}}+1>0.\forall t\in \mathbb{R}$
Do đó, hàm số $f\left( t \right)$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$
Mà theo (1) ta có $f\left( 3x+y \right)=f\left( 2x-2y+1 \right).~$
$\Leftrightarrow 3x+y=2x-2y+1\Leftrightarrow x=1-3y.~$
Theo bài ra ta có $:x+y>1\Leftrightarrow 1-3y+y>1\Leftrightarrow y<0\Leftrightarrow x>1.~$
Thay $x=1-3y$ vào bất phương trình $\log \dfrac{2}{3}\left( 2x+4y-1 \right)+2\left( m-1 \right){{\log }_{3}}\left( 1-2y \right)+{{m}^{2}}-9>0$ ta được:
$\begin{array}{*{35}{l}}
log\dfrac{2}{3}\left( 2\left( 1-3y \right)+4y-1 \right)+2\left( m-1 \right)lo{{g}_{3}}~\left( 1-2y \right)~+m{{~}^{2}}-9>~0 \\
\Leftrightarrow log\dfrac{2}{3}\left( 1-2y \right)+2\left( m-1 \right)lo{{g}_{3}}~\left( 1-2y \right)~+m{{~}^{2}}~-9>~0~ \\
\end{array}$
Đặt t $=lo{{g}_{3}}\left( 1-2y \right).Do1-2y>1\Rightarrow t=lo{{g}_{3}}\left( 1-2y \right)>0.~$
Khi đó, bất phương trình trở thành $f\left( t \right)={{t}^{2}}+2\left( m-1 \right)t+{{m}^{2}}-9>0,\forall t>0.~$
TH1: $f\left( \text{t} \right)\text{}0,\forall \text{ t}\in \mathbb{R}~$
$\Delta '<0\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}-{{m}^{2}}+9<0\Leftrightarrow 10-2m<0\Leftrightarrow m>5$
TH2: Phương trình $f\left( t \right)=0$ có hai nghiệm $~{{t}_{1}},{{t}_{2}}$ thỏa mãn ${{t}_{1}}\le {{t}_{2}}\le 0.~$
$\left\{ \begin{aligned}
& \Delta '\ge 0 \\
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}\le 0 \\
& {{t}_{1}}{{t}_{2}}\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( m-1 \right)}^{2}}-{{m}^{2}}+9\ge 0 \\
& -\left( m-1 \right)\le 0 \\
& {{m}^{2}}-9\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le 5 \\
& m\ge 1 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\ge 3 \\
& {{m}^{2}}\le -3 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 3\le m\le 5$
Kết hợp 2 trường hợp ta có m≥ 3 .
Mặt khác mlà số nguyên thuộc khoảng (- 20;20 ) nên m∈ { 3;4;5;....;18;19 } là các giá trị của mthỏa mãn.
Vậy có tất cả 17 giá trị nguyên của mthỏa mãn.
Đáp án B.