Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn...

Đặt $t=\cos x$ với $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{3} \right)$ khi đó $\cos x$ là hàm nghịch biến và $t\in \left( \dfrac{1}{2};1 \right)$
Yêu cầu bài toán tương đương tìm tất cả các giá trị nguyên của m trong đoạn $\left[ -10;10 \right]$ để hàm số $y=\dfrac{mt+1}{4t+m}=f(t)$ đồng biến trên khoảng $t\in \left( \dfrac{1}{2};1 \right)$
TXĐ của hàm $f(t)$ là $\mathbb{R}\backslash \left\{ \dfrac{-m}{4} \right\}$
Ta có $y'=\dfrac{{{m}^{2}}-4}{{{\left( 4t+m \right)}^{2}}}$
Hàm số $y=\dfrac{mt+1}{4t+m}=f(t)$ đồng biến trên khoảng $t\in \left( \dfrac{1}{2};1 \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{-m}{4}\notin \left( \dfrac{1}{2};1 \right) \\
& f'(t)>0,t\in \left( \dfrac{1}{2};1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{-m}{4}\le \dfrac{1}{2} \\
& \dfrac{-m}{4}\ge 1 \\
\end{aligned} \right. \\
& {{m}^{2}}-4>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m\ge -2 \\
& m\le -4 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left[ \begin{aligned}
& m>2 \\
& m<-2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>2 \\
& m\le -4 \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp điều kiện $m\in \left[ -10;10 \right]$ ta có các giá trị m nguyên thỏa mãn là
$m\in \left\{ -10;-9;-8;-7;-6;-5;-4;3;4;5;6;7,8,9,\left. 10 \right\} \right.$. Vậy có tất cả 15 giá trị m thỏa mãn.