Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trên đoạn $\left[ -20;20 \right]$ để hàm số $y=\dfrac{mx+4}{x+m}$ đồng biến trên khoảng $\left( 2;+\infty \right)$ ?
A. 18.
B. 17.
C. 20.
D. 23.
A. 18.
B. 17.
C. 20.
D. 23.
Tâp xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -m \right\}.$
Ta có $y'=\dfrac{{{m}^{2}}-4}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}$
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 2;+\infty \right)$ khi và chỉ khi $y'>0,\forall x\in \left( 2;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-4>0 \\
& -m\notin \left( 2;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m<-2 \\
& m>2 \\
\end{aligned} \right. \\
& -m\le 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m<-2 \\
& m>2 \\
\end{aligned} \right. \\
& m\ge -2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>2.$
Vì $m\in \left[ -20;20 \right]\Rightarrow m\left( 2;20 \right]$
Vậy có tất cả 18 giá trị nguyên của tham số m.
Ta có $y'=\dfrac{{{m}^{2}}-4}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}$
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 2;+\infty \right)$ khi và chỉ khi $y'>0,\forall x\in \left( 2;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-4>0 \\
& -m\notin \left( 2;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m<-2 \\
& m>2 \\
\end{aligned} \right. \\
& -m\le 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m<-2 \\
& m>2 \\
\end{aligned} \right. \\
& m\ge -2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>2.$
Vì $m\in \left[ -20;20 \right]\Rightarrow m\left( 2;20 \right]$
Vậy có tất cả 18 giá trị nguyên của tham số m.
Đáp án A.