Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn...

The Funny · 25/5/23

Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

thuộc đoạn

[- 2023, 2023]

để hàm số

y = | - x^{3} + 3 (m + 1) x^{2} - 3 m (m + 2) x + m^{2} (m + 3) |

đồng biến trên khoảng

(0, 1)

.
A.

2021

.
B.

2024

.
C.

2023

.
D.

2020

.

Xét

f (x) = - x^{3} + 3 (m + 1) x^{2} - 3 m (m + 2) x + m^{2} (m + 3)

f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 6 (m + 1) x - 3 m (m + 2)

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow - 3 x^{2} + 6 (m + 1) x - 3 m (m + 2) = 0

\Leftrightarrow [\begin{aligned} x = m \\ x = m + 2 \end{aligned}

.
Hàm số

y = | - x^{3} + 3 (m + 1) x^{2} - 3 m (m + 2) x + m^{2} (m + 3) |

đồng biến trên khoảng

(0, 1)

\Leftrightarrow

[\begin{aligned} {\begin{aligned} f (x) db \forall x \in (0, 1) \\ f (0) \geq 0 \end{aligned} \\ {\begin{aligned} f (x) nb \forall x \in (0, 1) \\ f (0) \leq 0 \end{aligned} \end{aligned}

\Leftrightarrow

[\begin{aligned} {\begin{aligned} f^{'} (x) \geq 0 \forall x \in (0, 1) (I) \\ f (0) \geq 0 \end{aligned} \\ {\begin{aligned} f^{'} (x) \leq 0 \forall x \in (0, 1) (I I) \\ f (0) \leq 0 \end{aligned} \end{aligned}

Giải

(I) \Leftrightarrow {\begin{aligned} - 3 x^{2} + 6 (m + 1) x - 3 m (m + 2) \geq 0 \forall x \in (0, 1) \\ f (0) \geq 0 \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} m \leq 0 < 1 \leq m + 2 \\ m^{2} (m + 3) \geq 0 \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} - 1 \leq m \leq 0 \\ m \geq - 3 \end{aligned} \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 0

.
Giải

(I I) \Leftrightarrow {\begin{aligned} - 3 x^{2} + 6 (m + 1) x - 3 m (m + 2) \leq 0 \forall x \in (0, 1) \\ f (0) \leq 0 \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} [\begin{aligned} m + 2 \leq 0 \\ m \geq 1 \end{aligned} \\ m^{2} (m + 3) \leq 0 \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} [\begin{aligned} m \leq - 2 \\ m \geq 1 \end{aligned} \\ m \leq - 3 \end{aligned} \Leftrightarrow m \leq - 3

.
Kết hợp

(I)

và

(I I)

suy ra

[\begin{aligned} - 1 \leq m \leq 0 \\ m \leq - 3 \end{aligned}

\to_{m \in Z}^{m \in [- 2023, 2023]} m \in {- 2023, - 2022, . . . . - 3, - 1, 0}

.
Vậy có

2023

giá trị

m

thỏa mãn đề bài.

Đáp án C.

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn...