Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[ -2019;2019 \right]$ sao cho hàm số $y=\left| {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+\left( 9-m \right)x+2m-2 \right|$ có 5 điểm cực trị?
A. 2019.
B. 2021.
C. 2022.
D. 2020.
A. 2019.
B. 2021.
C. 2022.
D. 2020.
Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+\left( 9-m \right)x+2m-2 \right|$ bằng số điểm cực trị của hàm số $y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+\left( 9-m \right)x+2m-2$ cộng với số nghiệm của phương trình ${{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+\left( 9-m \right)x+2m-2=0$. Xét hàm số $y=g\left( x \right)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+\left( 9-m \right)x+2m-2$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-12x+9-m$.
Yêu cầu bài toán tương đương phương trình $3{{x}^{2}}-12x+9-m=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}$ ; ${{x}_{2}}$ sao cho $y\left( {{x}_{1}} \right).y\left( {{x}_{2}} \right)<0$. $\left( * \right)$
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu là
$y=-\left( 2+\dfrac{2m}{3} \right)x+\dfrac{4}{3}m+4=-\left( \dfrac{2}{3}m+2 \right)\left( x-2 \right)$.
Ta có $\left( * \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'=9+3m>0 \\
& {{\left( 2+\dfrac{2m}{3} \right)}^{2}}\left( {{x}_{1}}-2 \right)\left( {{x}_{2}}-2 \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m>-3$.
Vậy các giá trị của m thỏa mãn là $\left\{ -2;-1;0;1;...;2019 \right\}$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-12x+9-m$.
Yêu cầu bài toán tương đương phương trình $3{{x}^{2}}-12x+9-m=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}$ ; ${{x}_{2}}$ sao cho $y\left( {{x}_{1}} \right).y\left( {{x}_{2}} \right)<0$. $\left( * \right)$
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu là
$y=-\left( 2+\dfrac{2m}{3} \right)x+\dfrac{4}{3}m+4=-\left( \dfrac{2}{3}m+2 \right)\left( x-2 \right)$.
Ta có $\left( * \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'=9+3m>0 \\
& {{\left( 2+\dfrac{2m}{3} \right)}^{2}}\left( {{x}_{1}}-2 \right)\left( {{x}_{2}}-2 \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m>-3$.
Vậy các giá trị của m thỏa mãn là $\left\{ -2;-1;0;1;...;2019 \right\}$.
Đáp án C.