Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -20;20 \right]$ để hàm số $y={{8}^{\cot x}}+\left( m-3 \right){{.2}^{\cot x}}+3m-2$ đồng biến trên khoảng $\left( \dfrac{\pi }{4};\pi \right)?$
A. 10
B. 12
C. 11
D. 9
A. 10
B. 12
C. 11
D. 9
Đặt $t={{2}^{\cot x}}$ mà $x\in \left( \dfrac{\pi }{4};\pi \right)\Rightarrow t<2$. Do đó ${{y}_{t}}={{t}^{3}}+\left( m-3 \right)t+3m-2$
Suy ra ${{{y}'}_{t}}={t}'.\left( 3{{t}^{2}}+m-3 \right)=-\dfrac{{{2}^{\cot x}}}{{{\sin }^{2}}x}.\left( 3{{t}^{2}}+m-3 \right)>0;\forall t<2\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+m-3<0;\forall t<2$
$\Leftrightarrow m<3-3{{t}^{2}};\forall t<2\Leftrightarrow m<\underset{\left( -\infty ;2 \right)}{\mathop{min}} \left( 3-3{{t}^{2}} \right)=-9.$
Kết hợp với$\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& -20\le m\le 20 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ có 11 giá trị nguyên m cần tìm.
Suy ra ${{{y}'}_{t}}={t}'.\left( 3{{t}^{2}}+m-3 \right)=-\dfrac{{{2}^{\cot x}}}{{{\sin }^{2}}x}.\left( 3{{t}^{2}}+m-3 \right)>0;\forall t<2\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+m-3<0;\forall t<2$
$\Leftrightarrow m<3-3{{t}^{2}};\forall t<2\Leftrightarrow m<\underset{\left( -\infty ;2 \right)}{\mathop{min}} \left( 3-3{{t}^{2}} \right)=-9.$
Kết hợp với$\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& -20\le m\le 20 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ có 11 giá trị nguyên m cần tìm.
Đáp án C.