Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để hàm số $y=\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+2019$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ ?
A. 8.
B. 10.
C. 9.
D. 11.
A. 8.
B. 10.
C. 9.
D. 11.
Ta có ${y}'=3\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}+6x-\left( m+1 \right)$.
• Trường họp 1: ${{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow m=\pm 1$.
+ $m=-1$ ta có ${y}'=6x$, hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ (thỏa mãn) $\left( 1 \right)$.
+ $m+1$ ta có ${y}'=6x-2$ hàm số đồng biến trên khoảng $\left( \dfrac{1}{3};+\infty \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;\dfrac{1}{3} \right)$ (không thỏa mãn)
• Trường hợp 2: ${{m}^{2}}-1<0\Leftrightarrow -1<m<1$
Khi đó luôn tồn tại ${{x}_{0}}$ để ${y}'<0$, $\forall x>{{x}_{0}}$ nên không thỏa mãn.
• Trường họp 3: ${{m}^{2}}-1>0$. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ khi và chỉ khi ${y}'=3\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}+6x-\left( m+1 \right)>0$, $\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$.
Vì ${{m}^{2}}-1>0$ nên $\dfrac{-1}{{{m}^{2}}-1}<0$.
Bảng biến thiên của ${y}'$
Theo bảng biến thiên suy ra ${y}'\left( 0 \right)\ge 0\Leftrightarrow -1-m\ge 0\Leftrightarrow m\le -1$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-1>0 \\
& m\le -1 \\
& m\in \left[ -10;10 \right] \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -10\le m<-1 $ $ \left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, kết họp $m\in \mathbb{Z}$ suy ra $m\in \left\{ -10;-9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1 \right\}$.
Vậy có 10 giá trị m nguyên thỏa yêu cầu bài toán.
• Trường họp 1: ${{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow m=\pm 1$.
+ $m=-1$ ta có ${y}'=6x$, hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ (thỏa mãn) $\left( 1 \right)$.
+ $m+1$ ta có ${y}'=6x-2$ hàm số đồng biến trên khoảng $\left( \dfrac{1}{3};+\infty \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;\dfrac{1}{3} \right)$ (không thỏa mãn)
• Trường hợp 2: ${{m}^{2}}-1<0\Leftrightarrow -1<m<1$
Khi đó luôn tồn tại ${{x}_{0}}$ để ${y}'<0$, $\forall x>{{x}_{0}}$ nên không thỏa mãn.
• Trường họp 3: ${{m}^{2}}-1>0$. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ khi và chỉ khi ${y}'=3\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}+6x-\left( m+1 \right)>0$, $\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$.
Vì ${{m}^{2}}-1>0$ nên $\dfrac{-1}{{{m}^{2}}-1}<0$.
Bảng biến thiên của ${y}'$
Theo bảng biến thiên suy ra ${y}'\left( 0 \right)\ge 0\Leftrightarrow -1-m\ge 0\Leftrightarrow m\le -1$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-1>0 \\
& m\le -1 \\
& m\in \left[ -10;10 \right] \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -10\le m<-1 $ $ \left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, kết họp $m\in \mathbb{Z}$ suy ra $m\in \left\{ -10;-9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1 \right\}$.
Vậy có 10 giá trị m nguyên thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án B.