Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt: ${{x}^{4}}-16{{x}^{2}}+8\left( 1-m \right)x-{{m}^{2}}+2m-1=0$.
A. 4.
B. 7.
C. 6.
D. 5.
A. 4.
B. 7.
C. 6.
D. 5.
Ta có: ${{x}^{4}}-16{{x}^{2}}+8\left( 1-m \right)x-{{m}^{2}}+2m-1=0$.
$\Leftrightarrow {{x}^{4}}-16{{x}^{2}}+8\left( 1-m \right)x-{{\left( 1-m \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( 1-m \right)}^{2}}-8x\left( 1-m \right)-{{x}^{4}}+16{{x}^{2}}=0$.
Đặt $1-m=M$, phương trình trở thành: ${{M}^{2}}-8xM-{{x}^{4}}+16{{x}^{2}}=0\ \ \ \left( * \right)$.
${{\Delta }_{M}}'={{\left( 4x \right)}^{2}}+{{x}^{4}}-16{{x}^{2}}={{x}^{4}}\ge 0$.
TH1: $x=0$ , Phương trình (*) có nghiệm kép $M=4x=0\Leftrightarrow 1-m=0\Leftrightarrow m=1$.
Khi đó phương trình ban đầu trở thành: ${{x}^{4}}-16{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-16 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm 4 \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt $\Rightarrow m=1$ không thỏa mãn.
TH2: $x\ne 0\Rightarrow $ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt:
$\left[ \begin{aligned}
& M=4x+{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x-M=0\ \ \ \left( 1 \right) \\
& M=4x-{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+M=0\ \ \ \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$ (1), (2) là phương trình bậc hai nên có tối đa 2 nghiệm.
Do đó, để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì (1), (2) đều có 2 nghiệm phân biệt, và 4 nghiệm này phân biệt nhau $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\Delta }_{1}}'>0 \\
& {{\Delta }_{2}}'>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4+M>0 \\
& 4-M>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M>-4 \\
& M<4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -4<M<4$
$\Leftrightarrow -4<m-m<4\Leftrightarrow -5<-m<3\Leftrightarrow -3<m<5$.
Kết hợp điều kiện $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -2,-1,0,2,3,4 \right\}$.
Thử lại $m=-2\Rightarrow x\in \left\{ -2\pm \sqrt{2};2\pm \sqrt{6} \right\}$ (thỏa mãn).
$m=-1\Rightarrow x\in \left\{ -2\pm \sqrt{6};2\pm \sqrt{2} \right\}$ (thỏa mãn).
$m=0\Rightarrow x\in \left\{ -2\pm \sqrt{5};2\pm \sqrt{3} \right\}$ (thỏa mãn).
$m=2\Rightarrow x\in \left\{ -2\pm \sqrt{3};2\pm \sqrt{5} \right\}$ (thỏa mãn).
$m=3\Rightarrow x\in \left\{ -2\pm \sqrt{2};2\pm \sqrt{6} \right\}$ (thỏa mãn).
$m=4\Rightarrow x\in \left\{ -1;-3;2\pm \sqrt{7} \right\}$ (thỏa mãn).
Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$\Leftrightarrow {{x}^{4}}-16{{x}^{2}}+8\left( 1-m \right)x-{{\left( 1-m \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( 1-m \right)}^{2}}-8x\left( 1-m \right)-{{x}^{4}}+16{{x}^{2}}=0$.
Đặt $1-m=M$, phương trình trở thành: ${{M}^{2}}-8xM-{{x}^{4}}+16{{x}^{2}}=0\ \ \ \left( * \right)$.
${{\Delta }_{M}}'={{\left( 4x \right)}^{2}}+{{x}^{4}}-16{{x}^{2}}={{x}^{4}}\ge 0$.
TH1: $x=0$ , Phương trình (*) có nghiệm kép $M=4x=0\Leftrightarrow 1-m=0\Leftrightarrow m=1$.
Khi đó phương trình ban đầu trở thành: ${{x}^{4}}-16{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-16 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm 4 \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt $\Rightarrow m=1$ không thỏa mãn.
TH2: $x\ne 0\Rightarrow $ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt:
$\left[ \begin{aligned}
& M=4x+{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x-M=0\ \ \ \left( 1 \right) \\
& M=4x-{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+M=0\ \ \ \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$ (1), (2) là phương trình bậc hai nên có tối đa 2 nghiệm.
Do đó, để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì (1), (2) đều có 2 nghiệm phân biệt, và 4 nghiệm này phân biệt nhau $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\Delta }_{1}}'>0 \\
& {{\Delta }_{2}}'>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4+M>0 \\
& 4-M>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M>-4 \\
& M<4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -4<M<4$
$\Leftrightarrow -4<m-m<4\Leftrightarrow -5<-m<3\Leftrightarrow -3<m<5$.
Kết hợp điều kiện $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -2,-1,0,2,3,4 \right\}$.
Thử lại $m=-2\Rightarrow x\in \left\{ -2\pm \sqrt{2};2\pm \sqrt{6} \right\}$ (thỏa mãn).
$m=-1\Rightarrow x\in \left\{ -2\pm \sqrt{6};2\pm \sqrt{2} \right\}$ (thỏa mãn).
$m=0\Rightarrow x\in \left\{ -2\pm \sqrt{5};2\pm \sqrt{3} \right\}$ (thỏa mãn).
$m=2\Rightarrow x\in \left\{ -2\pm \sqrt{3};2\pm \sqrt{5} \right\}$ (thỏa mãn).
$m=3\Rightarrow x\in \left\{ -2\pm \sqrt{2};2\pm \sqrt{6} \right\}$ (thỏa mãn).
$m=4\Rightarrow x\in \left\{ -1;-3;2\pm \sqrt{7} \right\}$ (thỏa mãn).
Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án C.