Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình...

Ta có: $x^4-16x^2+8(1-m)x-m^2+2m-1=0$.
$\iff x^4-16x^2+8(1-m)x-{(1-m)}^2=0\iff {(1-m)}^2-8x(1-m)-x^4+16x^2=0$.
Đặt $1-m=M$, phương trình trở thành: $M^2-8xM-x^4+16x^2=0(\ast )$.
${{\mathrm{\Delta }}_M}^{\prime }={\left(4x\right)}^2+x^4-16x^2=x^4\ge 0$.
TH1: $x=0$ , Phương trình (*) có nghiệm kép $M=4x=0\iff 1-m=0\iff m=1$.
Khi đó phương trình ban đầu trở thành: $x^4-16x^2=0\iff x^2(x^2-16)=0\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=\pm 4\end{array}$.
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt $\Rightarrow m=1$ không thỏa mãn.
TH2: $x\ne 0\Rightarrow$ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt:
$[\begin{array}{rl}& M=4x+x^2\iff x^2+4x-M=0\left(1\right)\\ & M=4x-x^2\iff x^2-4x+M=0\left(2\right)\end{array}$ (1), (2) là phương trình bậc hai nên có tối đa 2 nghiệm.
Do đó, để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì (1), (2) đều có 2 nghiệm phân biệt, và 4 nghiệm này phân biệt nhau $\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& {{\mathrm{\Delta }}_1}^{\prime }>0\\ & {{\mathrm{\Delta }}_2}^{\prime }>0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& 4+M>0\\ & 4-M>0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& M>-4\\ & M<4\end{array}\iff -4<M<4$
$\iff -4<m-m<4\iff -5<-m<3\iff -3<m<5$.
Kết hợp điều kiện $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{-2,-1,0,2,3,4\}$.
Thử lại $m=-2\Rightarrow x\in \{-2\pm \sqrt{2};2\pm \sqrt{6}\}$ (thỏa mãn).
$m=-1\Rightarrow x\in \{-2\pm \sqrt{6};2\pm \sqrt{2}\}$ (thỏa mãn).
$m=0\Rightarrow x\in \{-2\pm \sqrt{5};2\pm \sqrt{3}\}$ (thỏa mãn).
$m=2\Rightarrow x\in \{-2\pm \sqrt{3};2\pm \sqrt{5}\}$ (thỏa mãn).
$m=3\Rightarrow x\in \{-2\pm \sqrt{2};2\pm \sqrt{6}\}$ (thỏa mãn).
$m=4\Rightarrow x\in \{-1;-3;2\pm \sqrt{7}\}$ (thỏa mãn).
Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.