Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ${m}$ để hàm số ${y=\dfrac{m}{3} x^3-2 m x^2+(3 m+5) x+2021}$ đồng biến trên ${\mathbb{R}}$ ?
A. ${2}$.
B. ${6}$.
C. ${5}$.
D. ${4}$.
Ta có ${y'=mx^2-4mx+(3m+5)}$.
Xét hai trường hợp sau
Khi ${m=0}$ thì ${y'=5>0\Rightarrow}$ hàm số đồng biến trên ${\mathbb{R}}$.
Khi ${m\ne0}$.
Để hàm số đồng biến trên ${\mathbb{R}}$ thì ${y'\ge0}$ với mọi ${x\in\mathbb{R}}$. Nghĩa là
${\begin{aligned}mx^2-4mx+(3m+5)\ge0\text{ v?i }\forall x\in\mathbb{R}\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}&m>0\\&\Delta'\le0\end{aligned}\right.&\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}&m>0\\& 4m^2-m(3m+5)\le0\end{aligned}\right.\Leftrightarrow 0<m\le5.\end{aligned}}$
Vậy có ${6}$ giá trị thỏa mãn đề bài.
A. ${2}$.
B. ${6}$.
C. ${5}$.
D. ${4}$.
TXĐ: ${\mathscr{D}=\mathbb{R}}$.Ta có ${y'=mx^2-4mx+(3m+5)}$.
Xét hai trường hợp sau
Khi ${m=0}$ thì ${y'=5>0\Rightarrow}$ hàm số đồng biến trên ${\mathbb{R}}$.
Khi ${m\ne0}$.
Để hàm số đồng biến trên ${\mathbb{R}}$ thì ${y'\ge0}$ với mọi ${x\in\mathbb{R}}$. Nghĩa là
${\begin{aligned}mx^2-4mx+(3m+5)\ge0\text{ v?i }\forall x\in\mathbb{R}\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}&m>0\\&\Delta'\le0\end{aligned}\right.&\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}&m>0\\& 4m^2-m(3m+5)\le0\end{aligned}\right.\Leftrightarrow 0<m\le5.\end{aligned}}$
Vậy có ${6}$ giá trị thỏa mãn đề bài.
Đáp án B.