Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y={{x}^{8}}+\left( m-2 \right){{x}^{5}}-\left( {{m}^{2}}-4 \right){{x}^{4}}+1$ đạt cực tiểu tại $x=0$.
A. 3.
B. 5.
C. 4.
D. Vô số.
A. 3.
B. 5.
C. 4.
D. Vô số.
Ta có: ${y}'=8{{x}^{2}}+5\left( m-2 \right){{x}^{4}}-4\left( {{m}^{2}}-4 \right){{x}^{3}}={{x}^{3}}\left[ \underbrace{8{{x}^{4}}+5\left( m-2 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-4 \right)}_{{g}'\left( x \right)} \right]$
Ta xét các trường hợp sau:
* Nếu ${{m}^{2}}-4=0\Rightarrow m\pm 2$.
Khi $m=2\Rightarrow {y}'=8{{x}^{7}}\Rightarrow x=0$ là điểm cực tiểu.
Khi $m=-2\Rightarrow {y}'={{x}^{4}}\left( 8{{x}^{4}}-20 \right)\Rightarrow x=0$ không là điểm cực tiểu.
* Nếu ${{m}^{2}}-4\ne 0\Rightarrow m\ne \pm 2$. Khi đó ta có ${y}'={{x}^{2}}\left[ 8{{x}^{5}}+5\left( m-2 \right){{x}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-4 \right)x \right]$
Số cực trị của hàm $y={{x}^{8}}+\left( m-2 \right){{x}^{5}}-\left( {{m}^{2}}-4 \right){{x}^{4}}+1$ bằng số cực trị của hàm ${g}'\left( x \right)$
$\left\{ \begin{aligned}
& {g}'\left( x \right)=8{{x}^{5}}+5\left( m-2 \right){{x}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-4 \right)x \\
& {g}''\left( x \right)=40{{x}^{4}}+100\left( m-2 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-4 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Nếu $x=0$ là điểm cực tiểu thì ${g}''\left( 0 \right)>0$. Khi đó
$-4\left( {{m}^{2}}-4 \right)>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4<0\Rightarrow -2<m<2\Rightarrow m=\left\{ -1;0;1 \right\}$.
Vậy có 4 giá trị nguyên của $m$.
Ta xét các trường hợp sau:
* Nếu ${{m}^{2}}-4=0\Rightarrow m\pm 2$.
Khi $m=2\Rightarrow {y}'=8{{x}^{7}}\Rightarrow x=0$ là điểm cực tiểu.
Khi $m=-2\Rightarrow {y}'={{x}^{4}}\left( 8{{x}^{4}}-20 \right)\Rightarrow x=0$ không là điểm cực tiểu.
* Nếu ${{m}^{2}}-4\ne 0\Rightarrow m\ne \pm 2$. Khi đó ta có ${y}'={{x}^{2}}\left[ 8{{x}^{5}}+5\left( m-2 \right){{x}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-4 \right)x \right]$
Số cực trị của hàm $y={{x}^{8}}+\left( m-2 \right){{x}^{5}}-\left( {{m}^{2}}-4 \right){{x}^{4}}+1$ bằng số cực trị của hàm ${g}'\left( x \right)$
$\left\{ \begin{aligned}
& {g}'\left( x \right)=8{{x}^{5}}+5\left( m-2 \right){{x}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-4 \right)x \\
& {g}''\left( x \right)=40{{x}^{4}}+100\left( m-2 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-4 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Nếu $x=0$ là điểm cực tiểu thì ${g}''\left( 0 \right)>0$. Khi đó
$-4\left( {{m}^{2}}-4 \right)>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4<0\Rightarrow -2<m<2\Rightarrow m=\left\{ -1;0;1 \right\}$.
Vậy có 4 giá trị nguyên của $m$.
Đáp án C.