Có tất cả bao nhiêu giá trị khác nhau của tham số $m$ để đồ thị...

Ta có: $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{x-1}{x^2+mx+4}}=0$ nên đồ thị hàm số luôn có 1 TCN là $y=0$.
Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận thì nó chỉ có duy nhất 1 đường tiệm cận đứng $\iff$ phương trình $x^2+mx+4=0$ có nghiệm $x=1$ hoặc phương trình $x^2+mx+4=0$ có nghiệm kép (có thể bằng 1). $\iff [\begin{array}{l}{1}^2+m.1+4=0\\ m^2-4.4=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}m=-5\\ m=\pm 4\end{array}$.
Vậy có 3 giá trị của $m$ thỏa mãn bài toán.
Chú ý khi giải, một số em có thể chỉ để ý trường hợp nghiệm kép và chọn $\mathrm{B}$ là sai, một số em khác lại quên trường hơp nghiệm kép và chon A là sai.