Có tất cả bao nhiêu cặp số thực $\left( x;y \right)$ thỏa mãn đồng...

Ta có ${{5}^{-\left( y+4 \right)}}={{3}^{\left| {{x}^{2}}-2x-3 \right|-{{\log }_{3}}5}}\ge {{3}^{-{{\log }_{3}}5}}\Rightarrow {{5}^{-\left( y+4 \right)}}\ge {{5}^{-1}}\Rightarrow -\left( y+4 \right)\ge -1\Rightarrow y\le 3.$ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\left| {{x}^{2}}-2x-3 \right|=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó $4\left| y \right|-\left| y-1 \right|+{{\left( y+3 \right)}^{2}}\le 8\Leftrightarrow -4y-\left( 1-y \right)+{{y}^{2}}+6y+9\le 8\Leftrightarrow {{y}^{2}}+3y\le 0\Leftrightarrow -3\le y\le 0.$
Kết hợp với điều kiện $y\le -3$ ta suy ra $y=-3.$
Với $y=-3,$ ta có $\left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy có đúng hai cặp số thực thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\left\{ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& y=-3 \\
\end{aligned} \right. $ và $ \left\{ \begin{aligned}
& x=3 \\
& y=-3 \\
\end{aligned} \right..$