Có tất cả bao nhiêu cặp số $\left( a;b \right)$ với $a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn ${{\log }_{3}}\left(a+b \right)+{{\left( a+b...

Phương pháp:
- Biến đổi phương trình, xét hàm đặc trưng $f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+1.$
- Chứng minh hàm số $y=f\left( t \right)$ đơn điệu trên khoảng xác định của nó, từ đó suy ra phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa $a,b.$
- Đưa phương trình chứa $a,b$ về dạng tích, tìm mối quan hệ đơn giản giữa $a,b$ và dựa vào điều kiện $a,b\in \mathbb{N}*$ tìm số cặp $\left( a;b \right)$ thỏa mãn yêu cầu.
Cách giải:
Ta có:
${{\log }_{3}}\left( a+b \right)+{{\left( a+b \right)}^{3}}=3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+3ab\left( a+b-1 \right)+1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\dfrac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}{{{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}}+{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+3ab\left( a+b \right)=3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab \right)+3ab\left( a+b \right)+1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}} \right)+{{a}^{3}}+{{b}^{3}}={{\log }_{3}}\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)+3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab \right)+1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}} \right)+{{a}^{3}}+{{b}^{3}}={{\log }_{3}}\left[ 3\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right) \right]+3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab \right)\left( * \right)$
Xét hàm đặc trưng $f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+t\left( t>0 \right)$ ta có $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 3}+1>0\forall t>0,$ do đó hàm số $y=f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right).$
Khi đó phương trình (*) trở thành
$\begin{aligned}
& {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=3\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right) \\
& \Leftrightarrow \left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)=3\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right) \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)\left( a+b-3 \right)=0$
$\Leftrightarrow a+b=3\left( do{{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}>0\forall a,b \right)$
Mà $a,b\in \mathbb{N}*\Rightarrow \left( a;b \right)\in \left\{ \left( 1;2 \right);\left( 2;1 \right) \right\}.$
Vậy có 2 cặp số $a,b$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.